Найдите общий вид первообразной а)f(x)=2x^3-x^2-1 б)f(x)=(2x-3)^4 в)f(x)=3cos2x. в)f(x)=1/(5x-1)^4

Чтобы найти первообразные данных функций, нужно воспользоваться основными правилами интегрирования. Первообразная функции ( f(x) ) обозначается символом ( F(x) ), и ее нахождение связано с процессом интегрирования.

а) ( f(x) = 2x^3 - x^2 - 1 )

Для нахождения первообразной этой функции, воспользуемся основными правилами интегрирования:

[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, ]

где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

Интегрируем каждый член функции по отдельности:

[ \int (2x^3) \, dx = 2 \int x^3 \, dx = 2 \cdot \frac{x^{4}}{4} = \frac{1}{2}x^4, ]

[ \int (-x^2) \, dx = - \int x^2 \, dx = - \frac{x^{3}}{3}, ]

[ \int (-1) \, dx = -x. ]

Складываем результаты:

[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{x^3}{3} - x + C. ]

б) ( f(x) = (2x - 3)^4 )

Для нахождения первообразной этой функции, воспользуемся методом подстановки. Пусть ( u = 2x - 3 ), тогда ( du = 2 \, dx ) и ( dx = \frac{1}{2} \, du ).

Переписываем интеграл через ( u ):

[ \int (2x - 3)^4 \, dx = \int u^4 \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^4 \, du. ]

Интегрируем ( u^4 ):

[ \frac{1}{2} \int u^4 \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} = \frac{u^5}{10}. ]

Подставляем ( u = 2x - 3 ):

[ F(x) = \frac{(2x - 3)^5}{10} + C. ]

в) ( f(x) = 3 \cos(2x) )

Для нахождения первообразной этой функции, воспользуемся методом подстановки. Пусть ( u = 2x ), тогда ( du = 2 \, dx ) и ( dx = \frac{1}{2} \, du ).

Переписываем интеграл через ( u ):

[ \int 3 \cos(2x) \, dx = 3 \int \cos(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{3}{2} \int \cos(u) \, du. ]

Интегрируем ( \cos(u) ):

[ \frac{3}{2} \int \cos(u) \, du = \frac{3}{2} \sin(u). ]

Подставляем ( u = 2x ):

[ F(x) = \frac{3}{2} \sin(2x) + C. ]

г) ( f(x) = \frac{1}{(5x - 1)^4} )

Для нахождения первообразной этой функции, воспользуемся методом подстановки. Пусть ( u = 5x - 1 ), тогда ( du = 5 \, dx ) и ( dx = \frac{1}{5} \, du ).

Переписываем интеграл через ( u ):

[ \int \frac{1}{(5x - 1)^4} \, dx = \int \frac{1}{u^4} \cdot \frac{1}{5} \, du = \frac{1}{5} \int u^{-4} \, du. ]

Интегрируем ( u^{-4} ):

[ \frac{1}{5} \int u^{-4} \, du = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^{-3}}{-3} = -\frac{1}{15} u^{-3}. ]

Подставляем ( u = 5x - 1 ):

[ F(x) = -\frac{1}{15} (5x - 1)^{-3} + C. ]

Таким образом, первообразные для данных функций имеют следующий вид:

а) ( F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{x^3}{3} - x + C ),

б) ( F(x) = \frac{(2x - 3)^5}{10} + C ),

в) ( F(x) = \frac{3}{2} \sin(2x) + C ),

г) ( F(x) = -\frac{1}{15} (5x - 1)^{-3} + C ).

а) Для функции f(x)=2x^3-x^2-1 первообразная будет равна F(x)=1/2x^4-1/3x^3-x+C, где C - произвольная постоянная.

б) Для функции f(x)=(2x-3)^4 первообразная будет равна F(x)=1/5*(2x-3)^5+C, где C - произвольная постоянная.

в) Для функции f(x)=3cos(2x) первообразная будет равна F(x)=3/2*sin(2x)+C, где C - произвольная постоянная.

г) Для функции f(x)=1/(5x-1)^4 первообразная будет равна F(x)=-1/(15(5x-1)^3)+C, где C - произвольная постоянная.