Найдите первоначальную функции f ( х ) = 4х ^ 3-4х + 5 , график которой проходит через точку А (1 ;6)

Для нахождения первообразной (или интеграла) функции ( f(x) = 4x^3 - 4x + 5 ), нам нужно выполнить интегрирование этой функции, а затем использовать начальное условие, чтобы найти константу интегрирования.

Интегрируем функцию ( f(x) ):

[ \int (4x^3 - 4x + 5) \, dx = \int 4x^3 \, dx - \int 4x \, dx + \int 5 \, dx. ]

Интегрируем почленно:

1. ( \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 ),
2. ( \int 4x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 ),
3. ( \int 5 \, dx = 5x ).

Собираем все вместе:

[ \int (4x^3 - 4x + 5) \, dx = x^4 - 2x^2 + 5x + C, ]

где ( C ) — константа интегрирования.

Теперь используем информацию о том, что график функции проходит через точку ( A(1; 6) ). Это значит, что при ( x = 1 ) значение функции должно быть равно ( 6 ). Подставим эти значения в полученное выражение для первообразной:

[ 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 + C = 6. ] [ 1 - 2 + 5 + C = 6. ] [ 4 + C = 6. ] [ C = 6 - 4 = 2. ]

Таким образом, первоначальная функция ( F(x) ) имеет вид:

[ F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + 2. ]

Это и есть искомая функция.

Для нахождения первоначальной функции f(x) = 4x^3 - 4x + 5, проходящей через точку A(1;6), мы должны найти константу сдвига (с) так, чтобы значение функции в точке A совпадало с данным значением.

Подставим координаты точки A в функцию: 6 = 4(1)^3 - 4(1) + 5 6 = 4 - 4 + 5 6 = 5

Таким образом, значение функции в точке A не равно 6, поэтому данной функции не существует.

Итак, первоначальной функции f(x) = 4x^3 - 4x + 5, проходящей через точку A(1;6), не существует.

Для нахождения первоначальной функции нужно найти первообразную данной функции. Проведем вычисления:

f'(x) = 12x^2 - 4

Интегрируем f'(x):

∫(12x^2 - 4)dx = 4x^3 - 4x + C

Теперь найдем константу С, подставив координаты точки А (1;6):

41^3 - 41 + C = 6 4 - 4 + C = 6 C = 6

Итак, первообразная функции f(x) = 4x^3 - 4x + 6.