Найдите первообразную функции f(x)=5x+x^2,график которой проходит через точку (0;3)

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = 5x + x^2 ), необходимо выполнить интегрирование. Первообразная функции ( f(x) ), или неопределенный интеграл, обозначается как ( F(x) ) и находится следующим образом:

[ F(x) = \int (5x + x^2) \, dx. ]

Интегрирование каждого слагаемого по отдельности даёт:

1. Интеграл от ( 5x ) равен: [ \int 5x \, dx = \frac{5}{2}x^2 + C_1, ] где ( C_1 ) — произвольная константа, которая обычно объединяется с другими константами интегрирования.

2. Интеграл от ( x^2 ) равен: [ \int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 + C_2, ] где ( C_2 ) — другая произвольная константа.

Объединяя оба результата, получаем общую первообразную: [ F(x) = \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + C, ] где ( C = C_1 + C_2 ) — произвольная константа интегрирования.

Теперь, чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку ( (0, 3) ), подставим координаты этой точки в уравнение первообразной. То есть, при ( x = 0 ), ( F(x) = 3 ):

[ F(0) = \frac{5}{2} \cdot 0^2 + \frac{1}{3} \cdot 0^3 + C = 3. ]

Отсюда следует, что: [ C = 3. ]

Таким образом, конкретная первообразная, удовлетворяющая данному условию, имеет вид: [ F(x) = \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + 3. ]

Это уравнение описывает семейство кривых, каждая из которых является первообразной функции ( f(x) = 5x + x^2 ), а данная кривая проходит через точку ( (0, 3) ).

Для нахождения первообразной функции ( f(x) = 5x + x^2 ), график которой проходит через точку (0;3), мы должны найти функцию ( F(x) ), производная которой равна данной функции ( f(x) ).

Сначала найдем первообразную для члена 5x, который равен ( \frac{5}{2}x^2 ).

Теперь найдем первообразную для члена x^2, который равен ( \frac{1}{3}x^3 ).

Объединим оба члена и получим первообразную функции ( f(x) = 5x + x^2 ), которая равна ( F(x) = \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 ).

Теперь подставим точку (0;3) в уравнение ( F(x) ) и найдем значение константы интегрирования.

( F(0) = \frac{5}{2} \cdot 0^2 + \frac{1}{3} \cdot 0^3 + C = C = 3 ).

Итак, итоговая первообразная функции ( f(x) = 5x + x^2 ), которая проходит через точку (0;3), равна ( F(x) = \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + 3 ).