Найдите площадь фигуры ограниченной пораболой y=2x-x^2 и осью ОХ

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y=2x-x^2 и осью ОХ, необходимо вычислить интеграл от уравнения параболы до оси ОХ по переменной x.

Уравнение параболы y=2x-x^2 можно представить в виде y=x(2-x). Для нахождения точек пересечения параболы и оси ОХ, решим уравнение y=0: 0=x(2-x). Получаем два корня: x=0 и x=2.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной параболой и осью ОХ равна интегралу от 0 до 2 от функции x(2-x)dx.

Вычислим интеграл: ∫[0,2] x(2-x)dx = ∫[0,2] (2x-x^2)dx = x^2 - (x^3)/3 |[0,2] = (2^2 - (2^3)/3) - (0^2 - (0^3)/3) = 4 - 8/3 = 4/3.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной параболой y=2x-x^2 и осью ОХ равна 4/3.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой ( y = 2x - x^2 ) и осью ( OX ), нужно вычислить определённый интеграл от функции ( y = 2x - x^2 ) на интервале, где эта функция положительна.

1. Найдём точки пересечения параболы с осью ( OX ): Эти точки соответствуют значениям ( x ), при которых ( y = 0 ): [ 2x - x^2 = 0 ] Решим это уравнение: [ x(2 - x) = 0 ] Отсюда: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 ]

2. Определим границы интегрирования: Парабола пересекает ось ( OX ) в точках ( x = 0 ) и ( x = 2 ). Следовательно, границы интегрирования будут от ( x = 0 ) до ( x = 2 ).

3. Запишем интеграл для площади: Площадь под кривой ( y = 2x - x^2 ) и над осью ( OX ) на интервале от 0 до 2 вычисляется как определённый интеграл: [ \text{Площадь} = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx ]

4. Вычислим интеграл: Найдём первообразную функции ( 2x - x^2 ): [ \int (2x - x^2) \, dx = \int 2x \, dx - \int x^2 \, dx ] [ \int 2x \, dx = x^2 ] [ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} ] Таким образом, первообразная функции ( 2x - x^2 ) равна: [ x^2 - \frac{x^3}{3} ]

5. Подставим границы интегрирования в первообразную: [ \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} ] Вычислим значение первообразной в точках 2 и 0 и найдём разность: [ \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(0^2 - \frac{0^3}{3}\right) ] [ = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - \left(0 - 0\right) ] [ = 4 - \frac{8}{3} ] Приведём к общему знаменателю: [ 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой ( y = 2x - x^2 ) и осью ( OX ), равна (\frac{4}{3}) квадратных единиц.