Найдите производную функции : 1) 3/ x+2 корень из х - е в степени x 2) (3х-5) в степени 4 3) 3 sin2xcosx...

Давайте найдем производные для каждого из выражений по отдельности:

1. (\frac{3}{x} + 2\sqrt{x} - e^x)

Разберем каждый член отдельно:

• Производная (\frac{3}{x}) есть (3 \cdot (-x^{-2}) = -\frac{3}{x^2}).
• Производная (2\sqrt{x}) (где (\sqrt{x} = x^{1/2})) равна (2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}).
• Производная (e^x) равна (e^x).

Итак, производная всего выражения будет: [ -\frac{3}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}} - e^x ]

2. ((3x-5)^4)

Используем правило производной сложной функции (цепное правило). Обозначим (u = 3x - 5), тогда:

• Производная внешней функции (u^4) равна (4u^3).
• Производная внутренней функции (3x - 5) равна (3).

Тогда производная всего выражения: [ 4(3x-5)^3 \cdot 3 = 12(3x-5)^3 ]

3. (3 \sin(2x) \cos(x))

Для нахождения производной используем правило производной произведения: [ \frac{d}{dx} [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ] Здесь (f(x) = \sin(2x)) и (g(x) = \cos(x)):

• Производная (\sin(2x)) по правилу цепи будет (2\cos(2x)).
• Производная (\cos(x)) равна (-\sin(x)).

Подставляем: [ 3[2\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)] ]

4. (\frac{x^3}{x^2 + 5})

Используем правило производной частного: [ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ] Здесь (u = x^3) и (v = x^2 + 5):

• Производная (x^3) равна (3x^2).
• Производная (x^2 + 5) равна (2x).

Подставляем: [ \frac{3x^2(x^2 + 5) - x^3 \cdot 2x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{3x^2x^2 + 15x^2 - 2x^4}{(x^2 + 5)^2} = \frac{x^4 + 15x^2}{(x^2 + 5)^2} ]

Таким образом, мы получили производные для всех четырех функций.

1) Найдем производную функции 3/(x+2)√x - e^x. Для этого раскроем корень и возьмем производную каждого слагаемого по отдельности: 3/(x+2)√x = 3(x+2)^(-1/2)√x = 3x^(-1/2)(x+2)^(-1/2) Производная первого слагаемого: (3/2)x^(-3/2)(x+2)^(-1/2) Производная второго слагаемого: e^x Итак, производная функции равна (3/2)x^(-3/2)(x+2)^(-1/2) - e^x.

2) Найдем производную функции (3x-5)^4. Используем правило дифференцирования сложной функции: Производная функции (a(x))^n = n(a(x))^(n-1)a'(x), где a(x) - функция, n - степень. В нашем случае a(x) = 3x-5, n = 4. Производная функции (3x-5)^4 = 4(3x-5)^33 = 12*(3x-5)^3.

3) Найдем производную функции 3sin(2x)cos(x). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций: Производная функции f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x), где f(x) и g(x) - функции. f(x) = 3sin(2x), g(x) = cos(x). f'(x) = 6cos(2x), g'(x) = -sin(x). Итак, производная функции равна 6cos(2x)cos(x) - 3sin(2x)sin(x).

4) Найдем производную функции x^(3/(x^2+5)). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования функции вида a^f(x) (где a - константа, f(x) - функция): Производная функции a^f(x) = a^f(x)[f'(x)ln(a) + f(x)a^f(x)/a]. В нашем случае a = x, f(x) = 3/(x^2+5). f'(x) = -6x/(x^2+5)^2. Итак, производная функции равна x^(3/(x^2+5))*[(-6x/(x^2+5)^2)ln(x) + 3x/(x^2+5)].