Найдите производную функции y=x^5+x^2/x+1. С подробным объяснением!
Найдите производную функции y=x^5+x^2/x+1. С подробным объяснением!
Для нахождения производной функции ( y = \frac{x^5 + x^2}{x + 1} ) будем использовать правило дифференцирования дроби, также известное как правило Лейбница. Производная дроби ( \frac{u}{v} ) вычисляется по формуле:
[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]
где ( u ) и ( v ) — это функции от ( x ), а ( u' ) и ( v' ) — их производные.
В нашем случае:
Теперь найдем производные ( u' ) и ( v' ):
Находим ( u' ): [ u' = (x^5)' + (x^2)' = 5x^4 + 2x ]
Находим ( v' ): [ v' = (x + 1)' = 1 ]
Теперь подставим ( u ), ( v ), ( u' ) и ( v' ) в формулу для производной дроби:
[ y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2} ]
Подставляем найденные значения:
[ y' = \frac{(5x^4 + 2x)(x + 1) - (x^5 + x^2)(1)}{(x + 1)^2} ]
Теперь разберем числитель:
Умножим ( (5x^4 + 2x)(x + 1) ): [ (5x^4 + 2x)(x + 1) = 5x^4 \cdot x + 5x^4 \cdot 1 + 2x \cdot x + 2x \cdot 1 = 5x^5 + 5x^4 + 2x^2 + 2x ]
Теперь вычтем ( (x^5 + x^2) ): [ 5x^5 + 5x^4 + 2x^2 + 2x - (x^5 + x^2) = (5x^5 - x^5) + 5x^4 + (2x^2 - x^2) + 2x = 4x^5 + 5x^4 + x^2 + 2x ]
Таким образом, числитель производной становится: [ 4x^5 + 5x^4 + x^2 + 2x ]
Теперь подставим числитель и знаменатель в формулу для производной:
[ y' = \frac{4x^5 + 5x^4 + x^2 + 2x}{(x + 1)^2} ]
Теперь мы можем записать окончательный ответ:
[ y' = \frac{4x^5 + 5x^4 + x^2 + 2x}{(x + 1)^2} ]
Это и есть производная функции ( y = \frac{x^5 + x^2}{x + 1} ).
Найдем производную функции ( y = \frac{x^5 + x^2}{x + 1} ) с подробным объяснением.
Функция ( y ) представляет собой дробь, где числитель — это ( x^5 + x^2 ), а знаменатель — это ( x + 1 ). Для нахождения производной такой функции удобно применить правило нахождения производной частного.
Если функция имеет вид ( \frac{u(x)}{v(x)} ), то её производная вычисляется по формуле: [ \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{(v(x))^2}. ] Здесь:
Для нашей функции: [ u(x) = x^5 + x^2, \quad v(x) = x + 1. ]
Теперь найдем производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ).
Числитель ( u(x) = x^5 + x^2 ) дифференцируем по правилу производной степенной функции (( \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} )): [ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(x^2) = 5x^4 + 2x. ]
Знаменатель ( v(x) = x + 1 ) дифференцируем. Производная суммы равна сумме производных, а производная константы равна нулю: [ v'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(1) = 1 + 0 = 1. ]
Теперь подставляем все найденные значения ( u(x) ), ( u'(x) ), ( v(x) ) и ( v'(x) ) в формулу производной частного: [ y' = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{(v(x))^2}. ] Подставляем выражения: [ y' = \frac{(5x^4 + 2x)(x + 1) - (x^5 + x^2)(1)}{(x + 1)^2}. ]
Рассмотрим числитель: [ (5x^4 + 2x)(x + 1) - (x^5 + x^2). ] Раскроем скобки в первой части: [ (5x^4 + 2x)(x + 1) = 5x^4 \cdot x + 5x^4 \cdot 1 + 2x \cdot x + 2x \cdot 1 = 5x^5 + 5x^4 + 2x^2 + 2x. ] Теперь вычтем вторую часть числителя: [ 5x^5 + 5x^4 + 2x^2 + 2x - (x^5 + x^2) = 5x^5 + 5x^4 + 2x^2 + 2x - x^5 - x^2. ] Соберем подобные члены: [ (5x^5 - x^5) + 5x^4 + (2x^2 - x^2) + 2x = 4x^5 + 5x^4 + x^2 + 2x. ]
Подставляем упрощенный числитель в выражение для производной: [ y' = \frac{4x^5 + 5x^4 + x^2 + 2x}{(x + 1)^2}. ]
Это и есть производная функции. Ответ: [ y' = \frac{4x^5 + 5x^4 + x^2 + 2x}{(x + 1)^2}. ]
