Найдите производные: a)y=x^4/4-4/x^4-8 √x б)y=(x^2+1)cosx в)y=x^2+3x/x-1

a) y' = x^3 - 16/x^5 - 4/x^(3/2) б) y' = 2xcos(x) - (x^2 + 1)sin(x) в) y' = (x^2 + 6)/(x - 1)^2

Для нахождения производных данных выражений воспользуемся стандартными правилами дифференцирования: правилом степени, правилом произведения, правилом частного и правилом цепочки.

а) ( y = \frac{x^4}{4} - \frac{4}{x^4} - 8\sqrt{x} )

1. Производная от ( \frac{x^4}{4} ): [ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^4}{4}\right) = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} = x^3 ]

2. Производная от ( -\frac{4}{x^4} ): Перепишем как ( -4x^{-4} ): [ \frac{d}{dx}\left(-4x^{-4}\right) = -4 \cdot (-4)x^{-4-1} = 16x^{-5} ]

3. Производная от ( -8\sqrt{x} ): Перепишем как ( -8x^{1/2} ): [ \frac{d}{dx}\left(-8x^{1/2}\right) = -8 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = -4x^{-1/2} ]

Итак, производная функции: [ y' = x^3 + 16x^{-5} - 4x^{-1/2} ]

б) ( y = (x^2 + 1)\cos x )

Применим правило произведения: Если ( y = u \cdot v ), то ( y' = u'v + uv' ).

1. ( u = x^2 + 1 ), тогда ( u' = 2x ).

2. ( v = \cos x ), тогда ( v' = -\sin x ).

Подставим в правило произведения: [ y' = (2x)(\cos x) + (x^2 + 1)(-\sin x) ] [ y' = 2x\cos x - (x^2 + 1)\sin x ]

в) ( y = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} )

Применим правило частного: Если ( y = \frac{u}{v} ), то ( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ).

1. ( u = x^2 + 3x ), тогда ( u' = 2x + 3 ).

2. ( v = x - 1 ), тогда ( v' = 1 ).

Подставим в правило частного: [ y' = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x)(1)}{(x - 1)^2} ]

Вычислим числитель: [ (2x + 3)(x - 1) = 2x^2 - 2x + 3x - 3 = 2x^2 + x - 3 ] [ (x^2 + 3x)(1) = x^2 + 3x ]

Подставим: [ y' = \frac{(2x^2 + x - 3) - (x^2 + 3x)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 + x - 3 - x^2 - 3x}{(x - 1)^2} ] [ = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} ]

Итак, производные функций: а) ( y' = x^3 + 16x^{-5} - 4x^{-1/2} )

б) ( y' = 2x\cos x - (x^2 + 1)\sin x )

в) ( y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} )

а) Для нахождения производной функции y=x^4/4-4/x^4-8 √x необходимо продифференцировать каждый член по отдельности с использованием правил дифференцирования.

y'= (1/4)4x^3 + 4/x^5 - 8(1/2)x^(-1/2) y'= x^3 + 4/x^5 - 4/x^(3/2)

б) Для нахождения производной функции y=(x^2+1)cosx воспользуемся правилом произведения функций и правилом дифференцирования сложной функции.

y' = (x^2 + 1)(-sinx) + cosx(2x) y' = -x^2sinx - sinx + 2xcosx

в) Для нахождения производной функции y=x^2 + 3x/x-1 воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

y' = ((x-1)(2x) - (x^2 + 3x)(1))/((x - 1)^2) y' = (2x^2 - 2x - x^2 - 3x)/(x^2 - 2x + 1) y' = (x^2 - 5x)/(x^2 - 2x + 1)