. Найдите промежутки убывания функции f(х) = х3 - 6х2 + 5 .объясните

Чтобы найти промежутки убывания функции ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 ), нужно найти производную функции и определить, где она меньше нуля.

1. Найдем производную: [ f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4) ]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: [ 3x(x - 4) = 0 ] Отсюда ( x = 0 ) и ( x = 4 ).

3. Теперь исследуем знаки производной на интервалах:

   • Для интервала ( (-\infty, 0) ): возьмем ( x = -1 ) → ( f'(-1) = 3(-1)(-5) > 0 ) (функция возрастает).
   • Для интервала ( (0, 4) ): возьмем ( x = 2 ) → ( f'(2) = 3(2)(-2) < 0 ) (функция убывает).
   • Для интервала ( (4, \infty) ): возьмем ( x = 5 ) → ( f'(5) = 3(5)(1) > 0 ) (функция возрастает).

Таким образом, функция убывает на интервале ( (0, 4) ).

Чтобы найти промежутки убывания функции ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 ), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции

Производная функции показывает скорость изменения функции ( f(x) ). На промежутках, где производная отрицательна (( f'(x) < 0 )), функция убывает.

Функция ( f(x) ) равна: [ f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 ] Найдем её производную ( f'(x) ): [ f'(x) = 3x^2 - 12x ] Это выражение нужно исследовать для определения промежутков убывания.

2. Найти критические точки

Критические точки — это точки, где производная равна нулю (( f'(x) = 0 )) или не существует. Производная ( f'(x) = 3x^2 - 12x ) существует всюду, поэтому решаем уравнение: [ 3x^2 - 12x = 0 ] Вынесем общий множитель (( 3x )) за скобки: [ 3x(x - 4) = 0 ] Получаем два корня: [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 4 ] Это критические точки.

3. Определить знак производной на промежутках

Критические точки ( x = 0 ) и ( x = 4 ) разбивают числовую ось на три промежутка: [ (-\infty; 0), \quad (0; 4), \quad (4; +\infty) ] Теперь определим знак ( f'(x) ) на каждом из этих промежутков. Для этого выберем тестовые точки из каждого промежутка и подставим их в ( f'(x) = 3x^2 - 12x ).

1. Для промежутка ( (-\infty; 0) ): Выберем точку ( x = -1 ). Подставим её в производную: [ f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 \cdot 1 + 12 = 15 > 0 ] Значит, на промежутке ( (-\infty; 0) ) ( f'(x) > 0 ), и функция возрастает.

2. Для промежутка ( (0; 4) ): Выберем точку ( x = 2 ). Подставим её в производную: [ f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) = 3 \cdot 4 - 24 = -12 < 0 ] Значит, на промежутке ( (0; 4) ) ( f'(x) < 0 ), и функция убывает.

3. Для промежутка ( (4; +\infty) ): Выберем точку ( x = 5 ). Подставим её в производную: [ f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 3 \cdot 25 - 60 = 75 - 60 = 15 > 0 ] Значит, на промежутке ( (4; +\infty) ) ( f'(x) > 0 ), и функция возрастает.

4. Ответ

Функция ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 ) убывает на промежутке: [ (0; 4) ] На этом промежутке производная отрицательна (( f'(x) < 0 )).

Дополнительное пояснение

График функции ( f(x) ) имеет локальный максимум в точке ( x = 0 ) и локальный минимум в точке ( x = 4 ). На промежутке ( (0; 4) ) функция «падает», поэтому она убывает.

Чтобы найти промежутки убывания функции ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 ), необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции. Производная функции показывает, как изменяется функция, и с её помощью можно определить интервалы возрастания и убывания.

   [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 5) = 3x^2 - 12x ]

2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек.

   [ 3x^2 - 12x = 0 ]

   Вынесем общий множитель:

   [ 3x(x - 4) = 0 ]

   Это уравнение имеет два корня:

   [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 4 ]

3. Определим знаки производной на интервалах, заданных критическими точками. Для этого рассмотрим интервалы:

   • ( (-\infty, 0) )
   • ( (0, 4) )
   • ( (4, +\infty) )

   Выберем тестовые точки из каждого интервала:

   • Для ( x = -1 ) (интервал ( (-\infty, 0) )): [ f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 \quad (> 0) ] Функция возрастает на ( (-\infty, 0) ).

   • Для ( x = 2 ) (интервал ( (0, 4) )): [ f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) = 12 - 24 = -12 \quad (< 0) ] Функция убывает на ( (0, 4) ).

   • Для ( x = 5 ) (интервал ( (4, +\infty) )): [ f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 \quad (> 0) ] Функция возрастает на ( (4, +\infty) ).

4. Сделаем вывод.

   На основе анализа производной мы можем сделать следующие выводы о промежутках убывания и возрастания функции:

   • Функция ( f(x) ) возрастает на интервалах ( (-\infty, 0) ) и ( (4, +\infty) ).
   • Функция ( f(x) ) убывает на интервале ( (0, 4) ).

Таким образом, промежуток убывания функции ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 ) — это ( (0, 4) ).