Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 4, 1, 1/4

Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, необходимо использовать формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

[ S = \frac{a_1}{1 - r}, ]

где ( S ) — сумма бесконечной прогрессии, ( a_1 ) — первый член прогрессии, а ( r ) — знаменатель прогрессии.

Для данной прогрессии:

• Первый член ( a_1 = 4 ).
• Второй член ( a_2 = 1 ).

Чтобы найти знаменатель прогрессии ( r ), необходимо разделить второй член на первый:

[ r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{4}. ]

Теперь, убедимся, что прогрессия является сходящейся. Геометрическая прогрессия сходится, если абсолютное значение знаменателя меньше 1, то есть (|r| < 1). В нашем случае, (|\frac{1}{4}| = 0.25 < 1), что означает, что прогрессия сходится.

Теперь применим формулу для суммы бесконечной прогрессии:

[ S = \frac{4}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{\frac{3}{4}} = 4 \times \frac{4}{3} = \frac{16}{3}. ]

Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии 4, 1, 1/4 равна (\frac{16}{3}).

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии необходимо использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = a / (1 - r),

где S - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

В данном случае первый член прогрессии (a) равен 4, а знаменатель прогрессии (r) равен 1/4. Подставляем значения в формулу:

S = 4 / (1 - 1/4) = 4 / (3/4) = 16/3.

Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии 4, 1, 1/4 равна 16/3.