Найдите сумму четвертого и четырнадцатого членов арифметической прогрессии, если её девятый член равен 24.
Найдите сумму четвертого и четырнадцатого членов арифметической прогрессии, если её девятый член равен 24.
Для того чтобы найти сумму четвертого и четырнадцатого членов арифметической прогрессии, нужно вспомнить формулу её общего члена. Общий член арифметической прогрессии ( a_n ) определяется формулой:
[ a_n = a_1 + (n-1)d ]
где:
Дано, что девятый член ( a_9 ) равен 24:
[ a_9 = a_1 + 8d = 24 ]
Теперь нам нужно найти сумму четвертого и четырнадцатого членов прогрессии:
[ a_4 = a1 + 3d ] [ a{14} = a_1 + 13d ]
Сумма этих членов будет:
[ a4 + a{14} = (a_1 + 3d) + (a_1 + 13d) ] [ a4 + a{14} = a_1 + 3d + a_1 + 13d ] [ a4 + a{14} = 2a_1 + 16d ]
Теперь вернемся к уравнению для девятого члена прогрессии:
[ a_1 + 8d = 24 ]
Нам нужно выразить ( 2a_1 + 16d ) через это уравнение. Умножим уравнение на 2:
[ 2(a_1 + 8d) = 2 \cdot 24 ] [ 2a_1 + 16d = 48 ]
Таким образом, сумма четвертого и четырнадцатого членов арифметической прогрессии равна:
[ a4 + a{14} = 48 ]
Ответ: сумма четвертого и четырнадцатого членов арифметической прогрессии равна 48.
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для вычисления общего члена арифметической прогрессии: [ a_n = a_1 + (n-1)d, ] где ( a_n ) - n-й член прогрессии, ( a_1 ) - первый член прогрессии, ( d ) - разность прогрессии, ( n ) - номер члена прогрессии.
Из условия задачи известно, что девятый член прогрессии равен 24, то есть: [ a_9 = a_1 + 8d = 24. ]
Также нам известно, что четвертый и четырнадцатый члены арифметической прогрессии имеют номера 4 и 14 соответственно: [ a_4 = a1 + 3d, ] [ a{14} = a_1 + 13d. ]
Нам нужно найти сумму четвертого и четырнадцатого членов прогрессии: [ S = a4 + a{14} = (a_1 + 3d) + (a_1 + 13d) = 2a_1 + 16d. ]
Теперь нам нужно решить систему уравнений, состоящую из двух уравнений: [ a_1 + 8d = 24, ] [ 2a_1 + 16d = S. ]
Решив данную систему уравнений, мы сможем найти сумму четвертого и четырнадцатого членов арифметической прогрессии.
