Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии:а)8,4. б)1,5,-3.

Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии необходимо знать формулу суммы ( S_n ) ( n )-первых членов геометрической прогрессии. Формула для суммы ( n )-первых членов геометрической прогрессии имеет вид:

[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} ]

где:

• ( a ) — первый член прогрессии,
• ( r ) — знаменатель прогрессии,
• ( n ) — количество членов, которые нужно суммировать.

1. Пример а): 8, 4, .

   Здесь первый член ( a = 8 ). Чтобы найти знаменатель ( r ), разделим второй член на первый: [ r = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} ]

   Нужно найти сумму первых пяти членов (( n = 5 )): [ S_5 = 8 \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^5 - 1}{\frac{1}{2} - 1} ]

   Вычислим сначала ( \left(\frac{1}{2}\right)^5 ): [ \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} ]

   Теперь подставим в формулу: [ S_5 = 8 \frac{\frac{1}{32} - 1}{\frac{1}{2} - 1} ]

   Упростим числитель и знаменатель: [ \frac{1}{32} - 1 = \frac{1}{32} - \frac{32}{32} = \frac{1 - 32}{32} = \frac{-31}{32} ] [ \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1 - 2}{2} = \frac{-1}{2} ]

   Подставим упрощенные значения: [ S_5 = 8 \frac{\frac{-31}{32}}{\frac{-1}{2}} ]

   Упрощаем выражение: [ \frac{\frac{-31}{32}}{\frac{-1}{2}} = \frac{-31}{32} \times \frac{2}{-1} = \frac{-31 \times 2}{32 \times -1} = \frac{-62}{-32} = \frac{62}{32} = \frac{31}{16} ]

   Итак, получаем: [ S_5 = 8 \times \frac{31}{16} = \frac{248}{16} = 15.5 ]

   Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии в примере а) равна 15.5.

2. Пример б): 1, 5, -3, .

   Здесь первый член ( a = 1 ). Чтобы найти знаменатель ( r ), разделим второй член на первый: [ r = \frac{5}{1} = 5 ]

   Нужно найти сумму первых пяти членов (( n = 5 )): [ S_5 = 1 \frac{5^5 - 1}{5 - 1} ]

   Вычислим сначала ( 5^5 ): [ 5^5 = 3125 ]

   Теперь подставим в формулу: [ S_5 = 1 \frac{3125 - 1}{5 - 1} ]

   Упростим числитель и знаменатель: [ 3125 - 1 = 3124 ] [ 5 - 1 = 4 ]

   Подставим упрощенные значения: [ S_5 = \frac{3124}{4} = 781 ]

   Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии в примере б) равна 781.

Таким образом, суммы первых пяти членов геометрических прогрессий в примерах а) и б) равны 15.5 и 781 соответственно.

Для нахождения суммы пяти первых членов геометрической прогрессии необходимо использовать формулу для суммы n первых членов геометрической прогрессии:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r),

где S_n - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

а) Для прогрессии 8, 4: a = 8, r = 4/8 = 0,5. S_5 = 8 (1 - 0,5^5) / (1 - 0,5) = 8 (1 - 0,03125) / 0,5 = 8 * 0,96875 / 0,5 = 15,5.

б) Для прогрессии 1, 5, -3: a = 1, r = 5 / 1 = 5. S_5 = 1 (1 - 5^5) / (1 - 5) = 1 (1 - 3125) / -4 = 1 * (-3124) / -4 = 781.

Таким образом, сумма пяти первых членов геометрической прогрессии: а) 15,5, б) 781.