Найдите тангенс угла альфа между касательной к графику функции y=3 ctg x в точке с абсциссой х0=Пи/3...

Для того чтобы найти тангенс угла (\alpha) между касательной к графику функции (y = 3 \cot x) в точке с абсциссой (x_0 = \frac{\pi}{3}) и положительным направлением оси (Ox), необходимо следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Найти производную функции

Функция, с которой мы работаем, это (y = 3 \cot x). Производная функции (y = \cot x) равна (-\csc^2 x). Следовательно, производная функции (y = 3 \cot x) будет:

[ y' = 3 \cdot (-\csc^2 x) = -3 \csc^2 x ]

Шаг 2: Подставить значение (x_0 = \frac{\pi}{3})

Теперь подставим значение (x_0 = \frac{\pi}{3}) в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной в этой точке:

[ y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -3 \csc^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) ]

Значение (\csc \left(\frac{\pi}{3}\right)) равно (\frac{2}{\sqrt{3}}), так как (\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}). Следовательно:

[ \csc^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3} ]

Подставим это значение в производную:

[ y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -3 \cdot \frac{4}{3} = -4 ]

Шаг 3: Найти тангенс угла (\alpha)

Тангенс угла (\alpha) между касательной и положительным направлением оси (Ox) равен угловому коэффициенту касательной, который мы только что нашли. Таким образом, тангенс угла (\alpha) равен:

[ \tan \alpha = -4 ]

Это означает, что угол (\alpha) наклонен вниз относительно положительного направления оси (Ox).

Таким образом, тангенс угла (\alpha) между касательной к графику функции (y = 3 \cot x) в точке с абсциссой (x_0 = \frac{\pi}{3}) и положительным направлением оси (Ox) равен (-4).

Для решения данной задачи нам необходимо найти угловой коэффициент касательной линии к графику функции y=3 ctg x в точке с абсциссой x0=π/3.

Для начала найдем производную функции y=3 ctg x. Для этого запишем ее в виде y=3(1/tan x)=3 cot x. Теперь найдем производную этой функции: y'= -3 csc^2 x.

Подставим x=π/3 в выражение для производной и найдем угловой коэффициент касательной линии в точке x0=π/3: y'(π/3)= -3 csc^2 (π/3) = -3 (2/√3)^2 = -3 4/3 = -4.

Таким образом, угловой коэффициент касательной линии к графику функции y=3 ctg x в точке с абсциссой x0=π/3 равен -4.

Тангенс угла α между касательной линией и положительным направлением Ox определяется как tg α = -4.

Итак, тангенс угла α равен -4.