Найдите tg^2 a если 4sin^2 a+9cos^2 a=6

Для начала решим уравнение 4sin^2 a + 9cos^2 a = 6. Мы можем переписать это уравнение, используя тригонометрическую тождественность sin^2 a + cos^2 a = 1:

4sin^2 a + 9cos^2 a = 4(1 - cos^2 a) + 9cos^2 a = 4 - 4cos^2 a + 9cos^2 a = 6

Упростим это уравнение:

5cos^2 a = 2

cos^2 a = 2/5

Теперь найдем sin^2 a, используя тот же принцип:

sin^2 a = 1 - cos^2 a = 1 - 2/5 = 3/5

Наконец, найдем tg^2 a, используя определение tg a = sin a / cos a:

tg^2 a = (sin^2 a) / (cos^2 a) = (3/5) / (2/5) = 3/2

Итак, tg^2 a = 3/2.

tg^2 a = 1/2

Для решения задачи нам нужно выразить ( \tan^2 a ) через синус и косинус, используя известное равенство:

[ \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} ]

Начнем с уравнения, которое нам дано:

[ 4\sin^2 a + 9\cos^2 a = 6 ]

Нам нужно выразить из этого уравнения (\sin^2 a) и (\cos^2 a), чтобы подставить в выражение для (\tan^2 a).

Перепишем уравнение, выразив (\sin^2 a):

[ \sin^2 a = \frac{6 - 9\cos^2 a}{4} ]

Теперь выразим (\sin^2 a) и (\cos^2 a) друг через друга, используя тождество (\sin^2 a + \cos^2 a = 1):

[ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a ]

Подставим это в первое уравнение:

[ 4(1 - \cos^2 a) + 9\cos^2 a = 6 ]

Раскроем скобки: [ 4 - 4\cos^2 a + 9\cos^2 a = 6 ]

Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение относительно (\cos^2 a):

[ 5\cos^2 a = 2 ] [ \cos^2 a = \frac{2}{5} ]

Теперь найдем (\sin^2 a) через (\cos^2 a): [ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} ]

Теперь мы можем найти (\tan^2 a):

[ \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{2} ]

Итак, ответ: ( \tan^2 a = \frac{3}{2} ).