Найдите tgA, если sinА = 2корень из 29 / 29 и А принадлежит (0; п/2)

tgA = 2 / 5

Чтобы найти (\tan A), зная (\sin A), и учитывая, что (A) принадлежит диапазону ((0; \frac{\pi}{2})), мы можем использовать тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 ]

У нас уже есть (\sin A = \frac{2\sqrt{29}}{29}). Чтобы найти (\cos A), подставим значение (\sin A) в тождество:

[ \left(\frac{2\sqrt{29}}{29}\right)^2 + \cos^2 A = 1 ]

Вычислим (\left(\frac{2\sqrt{29}}{29}\right)^2):

[ \left(\frac{2\sqrt{29}}{29}\right)^2 = \frac{4 \times 29}{29^2} = \frac{116}{841} ]

Подставим это в уравнение:

[ \frac{116}{841} + \cos^2 A = 1 ]

Теперь решим уравнение для (\cos^2 A):

[ \cos^2 A = 1 - \frac{116}{841} = \frac{841}{841} - \frac{116}{841} = \frac{725}{841} ]

Найдём (\cos A), учитывая, что (A) принадлежит первому квадранту, где все тригонометрические функции положительны:

[ \cos A = \sqrt{\frac{725}{841}} = \frac{\sqrt{725}}{29} ]

Теперь можем найти (\tan A), используя соотношение:

[ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{2\sqrt{29}}{29}}{\frac{\sqrt{725}}{29}} = \frac{2\sqrt{29}}{\sqrt{725}} ]

Для упрощения результата можно домножить числитель и знаменатель на (\sqrt{725}):

[ \tan A = \frac{2\sqrt{29} \cdot \sqrt{725}}{725} = \frac{2\sqrt{29 \times 725}}{725} ]

Теперь вычислим значение под корнем:

(29 \times 725 = 21025), и (\sqrt{21025} = 145), таким образом:

[ \tan A = \frac{2 \times 145}{725} = \frac{290}{725} = \frac{58}{145} ]

Таким образом, (\tan A = \frac{58}{145}).

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическим тождеством tg(A) = sin(A) / cos(A).

Мы уже знаем, что sin(A) = 2√29 / 29. Теперь нам нужно найти cos(A). Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(A) + cos^2(A) = 1.

sin^2(A) = (2√29 / 29)^2 = 4*29 / 29^2 = 116 / 841 cos^2(A) = 1 - sin^2(A) = 1 - 116 / 841 = 725 / 841 cos(A) = ± √(725 / 841)

Так как A принадлежит интервалу (0; п/2), то cos(A) > 0, поэтому cos(A) = √(725 / 841) = 5√29 / 29.

Теперь можем найти tg(A): tg(A) = sin(A) / cos(A) = (2√29 / 29) / (5√29 / 29) = 2 / 5

Итак, tg(A) = 2 / 5.