Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер y=3x³+2x²-7
Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер y=3x³+2x²-7
Для нахождения точек экстремума производим первую производную функции y=3x³+2x²-7: y'=9x²+4x. Находим точки экстремума, приравнивая производную к нулю: 9x²+4x=0 => x=0 и x=-4/9. Подставляем найденные значения x обратно в исходную функцию: y(0)=-7, y(-4/9)≈-7.44. Точка экстремума при x=0 - минимум, при x=-4/9 - максимум.
Для нахождения точек экстремума функции ( y = 3x^3 + 2x^2 - 7 ) необходимо выполнить следующие шаги:
Найдите первую производную функции ( y ): [ y' = \frac{d}{dx}(3x^3 + 2x^2 - 7) ] Применяя правила дифференцирования, получаем: [ y' = 9x^2 + 4x ]
Найдите критические точки: Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует для всех значений ( x ), поэтому решаем уравнение ( y' = 0 ): [ 9x^2 + 4x = 0 ] Вынесем ( x ) за скобки: [ x(9x + 4) = 0 ] Решим это уравнение: [ x = 0 \quad \text{или} \quad 9x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{9} ] Таким образом, критические точки: ( x = 0 ) и ( x = -\frac{4}{9} ).
Определите характер критических точек: Для этого найдем вторую производную функции ( y ): [ y'' = \frac{d}{dx}(9x^2 + 4x) ] Применяя правила дифференцирования, получаем: [ y'' = 18x + 4 ] Теперь подставим критические точки в ( y'' ):
Для ( x = 0 ): [ y''(0) = 18(0) + 4 = 4 ] Поскольку ( y''(0) > 0 ), точка ( x = 0 ) является точкой минимума.
Для ( x = -\frac{4}{9} ): [ y''\left(-\frac{4}{9}\right) = 18\left(-\frac{4}{9}\right) + 4 = -8 + 4 = -4 ] Поскольку ( y''\left(-\frac{4}{9}\right) < 0 ), точка ( x = -\frac{4}{9} ) является точкой максимума.
Запишите точки экстремума и их характеристики:
Точка минимума: ( x = 0 ), значение функции в этой точке: [ y(0) = 3(0)^3 + 2(0)^2 - 7 = -7 ] То есть точка минимума ((0, -7)).
Точка максимума: ( x = -\frac{4}{9} ), значение функции в этой точке: [ y\left(-\frac{4}{9}\right) = 3\left(-\frac{4}{9}\right)^3 + 2\left(-\frac{4}{9}\right)^2 - 7 ] [ y\left(-\frac{4}{9}\right) = 3\left(-\frac{64}{729}\right) + 2\left(\frac{16}{81}\right) - 7 ] [ y\left(-\frac{4}{9}\right) = -\frac{192}{729} + \frac{32}{81} - 7 ] [ y\left(-\frac{4}{9}\right) = -\frac{64}{243} + \frac{96}{243} - 7 ] [ y\left(-\frac{4}{9}\right) = \frac{32}{243} - 7 ] [ y\left(-\frac{4}{9}\right) = \frac{32 - 1701}{243} = \frac{-1669}{243} ] Таким образом, точка максимума (\left(-\frac{4}{9}, \frac{-1669}{243}\right)).
Итак, точки экстремума функции ( y = 3x^3 + 2x^2 - 7 ) следующие:
Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю: y' = 9x^2 + 4x
Теперь найдем точки, где производная равна нулю: 9x^2 + 4x = 0 x(9x + 4) = 0
Отсюда получаем два решения: 1) x = 0 2) 9x + 4 = 0 x = -4/9
Теперь найдем значения функции в найденных точках: y(0) = -7 y(-4/9) ≈ -7.56
Таким образом, точки экстремума функции y=3x³+2x²-7: (0, -7) - точка минимума и (-4/9, -7.56) - точка максимума.
