Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер y=3x³+2x²-7

Для нахождения точек экстремума производим первую производную функции y=3x³+2x²-7: y'=9x²+4x. Находим точки экстремума, приравнивая производную к нулю: 9x²+4x=0 => x=0 и x=-4/9. Подставляем найденные значения x обратно в исходную функцию: y$0$=-7, y$-4/9$≈-7.44. Точка экстремума при x=0 - минимум, при x=-4/9 - максимум.

Для нахождения точек экстремума функции $y=3x^3+2x^2-7$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции $y$: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}(3x^3+2x^2-7)$ Применяя правила дифференцирования, получаем: $y^{\prime }=9x^2+4x$

2. Найдите критические точки: Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует для всех значений $x$, поэтому решаем уравнение $y^{\prime }=0$: $9x^2+4x=0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(9x+4)=0$ Решим это уравнение: $x=0\text{или}9x+4=0\Rightarrow x=-\frac{4}{9}$ Таким образом, критические точки: $x=0$ и $x=-\frac{4}{9}$.

3. Определите характер критических точек: Для этого найдем вторую производную функции $y$: $y^{″}=\frac{d}{dx}(9x^2+4x)$ Применяя правила дифференцирования, получаем: $y^{″}=18x+4$ Теперь подставим критические точки в $y^{″}$:

   • Для $x=0$: $y^{″}(0)=18(0)+4=4$ Поскольку $y^{″}(0$ > 0 ), точка $x=0$ является точкой минимума.

   • Для $x=-\frac{4}{9}$: $y^{″}(-\frac{4}{9})=18(-\frac{4}{9})+4=-8+4=-4$ Поскольку $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ < 0 ), точка $x=-\frac{4}{9}$ является точкой максимума.

4. Запишите точки экстремума и их характеристики:

   • Точка минимума: $x=0$, значение функции в этой точке: $y(0)=3(0{)}^3+2(0{)}^2-7=-7$ То есть точка минимума $(0,-7$).

   • Точка максимума: $x=-\frac{4}{9}$, значение функции в этой точке: $y(-\frac{4}{9})=3{(-\frac{4}{9})}^3+2{(-\frac{4}{9})}^2-7$ $y(-\frac{4}{9})=3(-\frac{64}{729})+2\left(\frac{16}{81}\right)-7$ $y(-\frac{4}{9})=-\frac{192}{729}+\frac{32}{81}-7$ $y(-\frac{4}{9})=-\frac{64}{243}+\frac{96}{243}-7$ $y(-\frac{4}{9})=\frac{32}{243}-7$ $y(-\frac{4}{9})=\frac{32-1701}{243}=\frac{-1669}{243}$ Таким образом, точка максимума $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$).

Итак, точки экстремума функции $y=3x^3+2x^2-7$ следующие:

• Точка минимума: $(0,-7$).
• Точка максимума: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$).

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю: y' = 9x^2 + 4x

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: 9x^2 + 4x = 0 x$9x+4$ = 0

Отсюда получаем два решения: 1) x = 0 2) 9x + 4 = 0 x = -4/9

Теперь найдем значения функции в найденных точках: y$0$ = -7 y$-4/9$ ≈ -7.56

Таким образом, точки экстремума функции y=3x³+2x²-7: $0,-7$ - точка минимума и $-4/9,-7.56$ - точка максимума.