Найдите точки пересечения параболы y=x^2 и прямой y=2x+3

Для нахождения точек пересечения параболы y=x^2 и прямой y=2x+3 необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнения параболы и уравнения прямой.

1. Подставим уравнение прямой в уравнение параболы: x^2 = 2x + 3

2. Преобразуем уравнение: x^2 - 2x - 3 = 0

3. Решим квадратное уравнение: D = 2^2 - 41(-3) = 4 + 12 = 16 x1,2 = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2

x1 = 6/2 = 3 x2 = -2/2 = -1

1. Найдем значения y для найденных x, подставив их в уравнение прямой: y1 = 23 + 3 = 9 y2 = 2(-1) + 3 = 1

Итак, получаем две точки пересечения: Точка 1: (3, 9) Точка 2: (-1, 1)

Чтобы найти точки пересечения параболы ( y = x^2 ) и прямой ( y = 2x + 3 ), нужно решить уравнение, приравняв правые части этих двух уравнений:

[ x^2 = 2x + 3. ]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

[ x^2 - 2x - 3 = 0. ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac, ]

где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -3 ).

Подставим значения:

[ D = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16. ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставим известные значения:

[ x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{2 \pm 4}{2}. ]

Теперь найдем ( x_1 ) и ( x_2 ):

[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, ]

[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1. ]

Теперь подставим значения ( x_1 ) и ( x_2 ) обратно в уравнение прямой ( y = 2x + 3 ), чтобы найти соответствующие значения ( y ).

Для ( x_1 = 3 ):

[ y_1 = 2 \times 3 + 3 = 6 + 3 = 9. ]

Для ( x_2 = -1 ):

[ y_2 = 2 \times (-1) + 3 = -2 + 3 = 1. ]

Таким образом, точки пересечения параболы и прямой — это ((3, 9)) и ((-1, 1)).