Найдите точку минимума функции y = - x / (x^2 + 1). Не могу найти производную. Получается -2x^-1. В...

Для нахождения точки минимума функции ( y = -\frac{x}{x^2 + 1} ) сначала нужно найти её производную и затем определить, при каких значениях ( x ) эта производная равна нулю.

1. Вычисление производной:

   Функция ( y = -\frac{x}{x^2 + 1} ) может быть представлена как произведение ( y = -x \cdot (x^2 + 1)^{-1} ). Используем правило производной произведения ( (uv)' = u'v + uv' ), где ( u = -x ) и ( v = (x^2 + 1)^{-1} ).

   Производная ( u' = -1 ).

   Для нахождения ( v' ), используем правило производной сложной функции. Пусть ( v = u^{-1} ), где ( u = x^2 + 1 ). Тогда по правилу дифференцирования степенной функции и цепному правилу получаем: [ v' = -1 \cdot (x^2 + 1)^{-2} \cdot 2x = -2x(x^2 + 1)^{-2}. ]

   Теперь найдем производную ( y' ): [ y' = -1 \cdot (x^2 + 1)^{-1} + (-x) \cdot (-2x)(x^2 + 1)^{-2} = -\frac{1}{x^2 + 1} + \frac{2x^2}{(x^2 + 1)^2}. ]

2. Нахождение критических точек:

   Решите уравнение ( y' = 0 ): [ -\frac{1}{x^2 + 1} + \frac{2x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0. ]

   Упростим это уравнение: [ \frac{-1 \cdot (x^2 + 1) + 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0, ] [ -x^2 - 1 + 2x^2 = 0, ] [ x^2 - 1 = 0, ] [ x^2 = 1, ] [ x = \pm 1. ]

3. Определение минимума или максимума:

   Используйте вторую производную или тест первой производной, чтобы определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами. В данном случае, вы можете также заметить, что функция ( y = -\frac{x}{x^2 + 1} ) нечетная, и её график симметричен относительно начала координат. Значение функции в точках ( x = \pm 1 ) будет одинаковым, и одна из этих точек будет точкой минимума, а другая максимума.

   Чтобы узнать, кто что, можно подставить эти точки в функцию или исследовать знаки производной в окрестности этих точек. Подставляя в функцию, получаем: [ y(1) = -\frac{1}{1^2 + 1} = -\frac{1}{2}, ] [ y(-1) = -\frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2}. ]

   Так как функция убывает до ( x = 1 ) и возрастает после, ( x = 1 ) является точкой максимума, а ( x = -1 ) — точкой минимума.

Для нахождения точки минимума функции y = - x / (x^2 + 1) необходимо найти производную этой функции и приравнять её к нулю.

Для начала найдем производную функции y = - x / (x^2 + 1) с помощью правила дифференцирования частного:

y' = [(-1)(x^2 + 1) - (-x)(2x)] / (x^2 + 1)^2 y' = (-x^2 - 1 + 2x^2) / (x^2 + 1)^2 y' = (x^2 - 1) / (x^2 + 1)^2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значение x:

(x^2 - 1) = 0 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, точки минимума функции y = - x / (x^2 + 1) находятся при x = 1 и x = -1. Для определения типа точки (минимум или максимум) можно воспользоваться второй производной или методом второй производной.