Найдите точку минимума функции y= x^3 - 300*x + 19 как вообще решать?

Чтобы найти точку минимума функции ( y = x^3 - 300x + 19 ), нужно выполнить несколько шагов, включая нахождение первой и второй производных и анализ их значений. Вот пошаговый процесс:

1. Найдите первую производную функции ( y ): Первая производная функции необходима для нахождения критических точек, где возможны экстремумы (минимумы или максимумы).

   [ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 300x + 19) = 3x^2 - 300 ]

2. Найдите критические точки: Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. В нашем случае первая производная - это полином, который существует везде, поэтому нам нужно решить уравнение:

   [ 3x^2 - 300 = 0 ]

   Решаем это уравнение:

   [ 3x^2 = 300 ] [ x^2 = 100 ] [ x = \pm 10 ]

   Таким образом, у нас есть две критические точки: ( x = 10 ) и ( x = -10 ).

3. Найдите вторую производную функции ( y ): Вторая производная функции поможет нам определить характер критических точек (минимум, максимум или точка перегиба).

   [ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 300) = 6x ]

4. Проанализируйте вторую производную в критических точках: Подставим ( x = 10 ) и ( x = -10 ) во вторую производную:

   [ y''(10) = 6 \cdot 10 = 60 ] [ y''(-10) = 6 \cdot (-10) = -60 ]

   Если вторая производная положительна (( y''(10) = 60 > 0 )), это указывает на то, что ( x = 10 ) является точкой минимума. Если вторая производная отрицательна (( y''(-10) = -60 < 0 )), это указывает на то, что ( x = -10 ) является точкой максимума.

5. Найдите значение функции в точке минимума: Подставим ( x = 10 ) в исходную функцию ( y = x^3 - 300x + 19 ):

   [ y(10) = 10^3 - 300 \cdot 10 + 19 = 1000 - 3000 + 19 = -1981 ]

Таким образом, точка минимума функции ( y = x^3 - 300x + 19 ) находится в ( x = 10 ), и значение функции в этой точке равно ( -1981 ).

Ответ: Точка минимума функции ( y = x^3 - 300x + 19 ) находится в ( x = 10 ), и минимальное значение функции равно ( -1981 ).

Для нахождения точки минимума функции y = x^3 - 300x + 19 необходимо использовать производные.

1. Найдем производную данной функции: y' = 3x^2 - 300.

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 3x^2 - 300 = 0.

3. Решим уравнение: 3x^2 = 300, x^2 = 100, x = ±10.

4. Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, необходимо провести исследование знаков производной в окрестностях точки.

4.1. Для x < -10: y' = 3x^2 - 300 > 0, следовательно, функция возрастает слева от точки x = -10.

4.2. Для -10 < x < 10: y' = 3x^2 - 300 < 0, следовательно, функция убывает на интервале (-10, 10).

4.3. Для x > 10: y' = 3x^2 - 300 > 0, следовательно, функция возрастает справа от точки x = 10.

Таким образом, точка x = 10 является точкой минимума функции y = x^3 - 300x + 19.