Найдите точку минимума функции y=x^3+18x^2+81x+8

Для того чтобы найти точку минимума функции ( y = x^3 + 18x^2 + 81x + 8 ), необходимо выполнить несколько шагов, связанных с нахождением критических точек и анализа второй производной.

Шаг 1: Найдём первую производную функции

Первая производная функции ( y ) по переменной ( x ) позволяет определить наклон касательной к графику функции в любой точке. Выполним дифференцирование: [ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 18x^2 + 81x + 8) ] [ y' = 3x^2 + 36x + 81 ]

Шаг 2: Найдём критические точки

Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. В данном случае уравнение первой производной равно нулю: [ 3x^2 + 36x + 81 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение: [ x^2 + 12x + 27 = 0 ]

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ): [ D = b^2 - 4ac ] [ D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 ] [ D = 144 - 108 ] [ D = 36 ]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Найдём корни: [ x{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ x{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{36}}{2} ] [ x_{1,2} = \frac{-12 \pm 6}{2} ] [ x_1 = \frac{-12 + 6}{2} = -3 ] [ x_2 = \frac{-12 - 6}{2} = -9 ]

Шаг 3: Найдём вторую производную функции

Для определения характера критических точек (минимум, максимум или перегиб), вычислим вторую производную: [ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 36x + 81) ] [ y'' = 6x + 36 ]

Шаг 4: Исследуем вторую производную в критических точках

Проверим значения второй производной в найденных критических точках:

Для ( x = -3 ): [ y''(-3) = 6(-3) + 36 = -18 + 36 = 18 ]

Для ( x = -9 ): [ y''(-9) = 6(-9) + 36 = -54 + 36 = -18 ]

Шаг 5: Определим характер критических точек

Если вторая производная положительна в критической точке, то эта точка является точкой минимума. Если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.

• В точке ( x = -3 ) вторая производная положительна (( y'' = 18 )), следовательно, это точка минимума.
• В точке ( x = -9 ) вторая производная отрицательна (( y'' = -18 )), следовательно, это точка максимума.

Шаг 6: Найдём значение функции в точке минимума

Теперь подставим ( x = -3 ) в исходную функцию, чтобы найти значение ( y ) в точке минимума: [ y(-3) = (-3)^3 + 18(-3)^2 + 81(-3) + 8 ] [ y(-3) = -27 + 18 \cdot 9 - 243 + 8 ] [ y(-3) = -27 + 162 - 243 + 8 ] [ y(-3) = -100 ]

Ответ

Точка минимума функции ( y = x^3 + 18x^2 + 81x + 8 ) находится в точке ( x = -3 ). Значение функции в этой точке минимально и равно ( y = -100 ).

Для нахождения точки минимума функции необходимо найти производную данной функции и приравнять ее к нулю.

y = x^3 + 18x^2 + 81x + 8

y' = 3x^2 + 36x + 81

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точку минимума:

3x^2 + 36x + 81 = 0

Далее решаем квадратное уравнение:

D = 36^2 - 4381 = 1296 - 972 = 324

x = (-36 ± √324)/2*3 x = (-36 ± 18)/6 x1 = -6 x2 = -9

Теперь найдем значение функции в точках x1 = -6 и x2 = -9:

y(-6) = (-6)^3 + 18(-6)^2 + 81(-6) + 8 = -216 + 648 - 486 + 8 = -46

y(-9) = (-9)^3 + 18(-9)^2 + 81(-9) + 8 = -729 + 1458 - 729 + 8 = 8

Итак, точкой минимума функции y = x^3 + 18x^2 + 81x + 8 является точка (-6, -46), значение функции в этой точке -46.