Найдите точку минимума функции y=(x+3)^2(x+5)−1

Для нахождения точки минимума функции y=(x+3)^2(x+5)−1 необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

y' = 2(x+3)(x+5) + (x+3)^2 = 2(x^2 + 8x + 15) + (x^2 + 6x + 9) = 2x^2 + 16x + 30 + x^2 + 6x + 9 = 3x^2 + 22x + 39

Теперь приравниваем производную к нулю и находим точку минимума:

3x^2 + 22x + 39 = 0

Далее решаем квадратное уравнение:

D = 22^2 - 4339 = 484 - 468 = 16

x = (-22 ± √16) / 6 = (-22 ± 4) / 6 = (-26)/6 = -13/3

Таким образом, точка минимума функции y=(x+3)^2(x+5)−1 равна x = -13/3. Для нахождения значения y подставим x обратно в исходное уравнение:

y = ((-13/3) + 3)^2((-13/3) + 5) - 1 = (-4/3)^2(2/3) - 1 = (16/9)(2/3) - 1 = 32/27 - 1 = 5/27

Итак, точка минимума функции y=(x+3)^2(x+5)−1 равна (-13/3, 5/27).

Чтобы найти точку минимума функции ( y = (x+3)^2(x+5) - 1 ), необходимо следовать нескольким шагам, включая нахождение производной и анализ критических точек.

1. Найдите первую производную функции.

   Для этого используем правило произведения, так как функция представлена в виде произведения ((x+3)^2) и ((x+5)).

   Обозначим ( u = (x+3)^2 ) и ( v = (x+5) ). Тогда первая производная будет:

   [ y' = u'v + uv' ]

   где

   [ u' = 2(x+3) \quad \text{и} \quad v' = 1 ]

   Подставляем:

   [ y' = 2(x+3)(x+5) + (x+3)^2 \cdot 1 ]

   Упростим выражение:

   [ y' = 2(x+3)(x+5) + (x+3)^2 ]

   Раскроем скобки:

   [ y' = 2(x^2 + 8x + 15) + (x^2 + 6x + 9) ]

   [ y' = 2x^2 + 16x + 30 + x^2 + 6x + 9 ]

   [ y' = 3x^2 + 22x + 39 ]

2. Найдите критические точки.

   Критические точки находятся путем приравнивания первой производной к нулю:

   [ 3x^2 + 22x + 39 = 0 ]

   Это квадратное уравнение. Найдем его корни, используя дискриминант:

   [ D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 39 ]

   [ D = 484 - 468 = 16 ]

   Корни уравнения:

   [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 \pm 4}{6} ]

   [ x_1 = \frac{-22 + 4}{6} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-22 - 4}{6} = -\frac{26}{6} = -\frac{13}{3} ]

3. Определите характер критических точек.

   Для этого нужно найти вторую производную и проверить знак в этих точках.

   Найдем вторую производную:

   [ y'' = (3x^2 + 22x + 39)' = 6x + 22 ]

   Подставим критические точки:

   [ y''(-3) = 6(-3) + 22 = -18 + 22 = 4 ]

   [ y''\left(-\frac{13}{3}\right) = 6\left(-\frac{13}{3}\right) + 22 = -26 + 22 = -4 ]

   Так как ( y''(-3) > 0 ), то ( x = -3 ) — точка минимума.

   Для проверки, ( y''\left(-\frac{13}{3}\right) < 0 ), значит, ( x = -\frac{13}{3} ) — точка максимума.

4. Найдите значение функции в точке минимума.

   Подставим ( x = -3 ) в исходную функцию:

   [ y = ((-3)+3)^2((-3)+5) - 1 = 0^2 \cdot 2 - 1 = -1 ]

Таким образом, точка минимума функции ( y = (x+3)^2(x+5) - 1 ) — это ( x = -3 ), и значение функции в этой точке равно (-1).