Найдите точку минимума функции y=x*корень из x -6x +22
Найдите точку минимума функции y=x*корень из x -6x +22
Для нахождения точки минимума функции необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю. Затем найденное значение x подставить обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y.
Данная функция y=xsqrt(x) - 6x + 22. Найдем производную этой функции: y'(x) = (xsqrt(x))' - (6x)' + (22)' = (x^(3/2))' - 6 + 0 = (3/2)x^(1/2) - 6
Теперь приравняем производную к нулю и найдем точку минимума: (3/2)x^(1/2) - 6 = 0 (3/2)x^(1/2) = 6 x^(1/2) = 4 x = 16
Теперь найдем значение y при x = 16: y = 16sqrt(16) - 616 + 22 y = 64 - 96 + 22 y = -10
Таким образом, точка минимума функции y=x*sqrt(x) - 6x + 22 равна (16, -10).
Для нахождения точки минимума функции ( y = x \sqrt{x} - 6x + 22 ), нам сначала нужно выразить ( x \sqrt{x} ) через ( x^{3/2} ), так что функция примет вид: [ y = x^{3/2} - 6x + 22. ]
Далее, найдем производную данной функции, чтобы определить критические точки, где производная равна нулю или не существует.
Используя правила дифференцирования, получаем: [ y' = \frac{3}{2} x^{1/2} - 6. ]
Устанавливаем производную равной нулю для нахождения критических точек: [ \frac{3}{2} x^{1/2} - 6 = 0. ] [ \frac{3}{2} x^{1/2} = 6. ] [ x^{1/2} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = 4. ] [ x = 4^2 = 16. ]
Проверка на минимум или максимум: Для этого можно использовать вторую производную ( y'' ) или метод первой производной. Найдем вторую производную: [ y'' = \frac{d}{dx} \left(\frac{3}{2} x^{1/2}\right) = \frac{3}{4} x^{-1/2}. ]
Подставляем ( x = 16 ): [ y''(16) = \frac{3}{4} \cdot 16^{-1/2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}. ] Так как ( y''(16) > 0 ), точка ( x = 16 ) является точкой минимума.
Вычисляем значение ( y ) в точке минимума: [ y(16) = 16 \sqrt{16} - 6 \cdot 16 + 22 = 16 \cdot 4 - 96 + 22 = 64 - 96 + 22 = -10. ]
Итак, точка минимума функции ( y = x \sqrt{x} - 6x + 22 ) находится при ( x = 16 ), и минимальное значение функции в этой точке равно ( -10 ).
