Найдите все целые значения a ,при которых корень уравнения ax= -8 является натуральным числом

Для того чтобы найти все целые значения ( a ), при которых корень уравнения ( ax = -8 ) является натуральным числом, начнем с того, что мы можем выразить ( x ) через ( a ):

[ ax = -8 \implies x = \frac{-8}{a} ]

Мы хотим, чтобы ( x ) было натуральным числом. Напомним, что натуральные числа — это положительные целые числа: ( 1, 2, 3, \ldots ).

Таким образом, нам нужно, чтобы ( \frac{-8}{a} ) было положительным целым числом. Это означает, что:

1. ( a ) должно быть отрицательным (поскольку деление отрицательного числа на отрицательное число дает положительное число).
2. ( \frac{-8}{a} ) должно быть целым числом, то есть ( a ) должен быть делителем (-8).

Теперь найдем все делители числа (-8). Делителями числа (-8) являются:

[ -1, -2, -4, -8, 1, 2, 4, 8 ]

Среди этих делителей только отрицательные числа удовлетворяют первому условию (чтобы ( x ) было натуральным):

• ( a = -1 )
• ( a = -2 )
• ( a = -4 )
• ( a = -8 )

Теперь проверим, какое значение ( x ) будет при каждом из этих значений ( a ):

1. Для ( a = -1 ): [ x = \frac{-8}{-1} = 8 \quad (\text{натуральное число}) ]

2. Для ( a = -2 ): [ x = \frac{-8}{-2} = 4 \quad (\text{натуральное число}) ]

3. Для ( a = -4 ): [ x = \frac{-8}{-4} = 2 \quad (\text{натуральное число}) ]

4. Для ( a = -8 ): [ x = \frac{-8}{-8} = 1 \quad (\text{натуральное число}) ]

Таким образом, все проверенные значения ( a ) дают натуральные значения ( x ).

Итак, все целые значения ( a ), при которых корень уравнения ( ax = -8 ) является натуральным числом, это:

[ \boxed{-1, -2, -4, -8} ]

Давайте внимательно разберем задачу.

У нас дано линейное уравнение:

[ a \cdot x = -8, ]

и нужно найти все целые значения (a), при которых корень этого уравнения ((x)) является натуральным числом.

1. Разберём, что такое натуральные числа

Натуральные числа — это положительные целые числа, то есть (1, 2, 3, 4, \dots). Ноль и отрицательные числа не принадлежат множеству натуральных чисел.

2. Выразим (x) из уравнения

Разделим обе части уравнения на (a) (предполагая, что (a \neq 0), так как деление на ноль невозможно):

[ x = \frac{-8}{a}. ]

Мы хотим, чтобы (x) был натуральным числом. То есть (\frac{-8}{a}) должно быть положительным и целым.

3. Условие для (a)

Чтобы (\frac{-8}{a}) было натуральным числом:

1. (-8 / a) должно быть целым числом. Это означает, что (a) должен быть делителем числа (-8).
2. (-8 / a) должно быть положительным, так как натуральные числа положительны.

4. Найдём делители числа (-8)

Делители числа (-8) — это числа, которые делят его без остатка. Полный список делителей:

[ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8. ]

5. Проведём анализ для положительности (\frac{-8}{a})

Чтобы (\frac{-8}{a}) было положительным, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки (так как (- \div - = +)). То есть (a) должен быть отрицательным, потому что (-8) — отрицательное число.

Таким образом, (a) может быть только (-1, -2, -4, -8).

6. Проверим каждое значение (a)

Теперь проверим, являются ли значения (-8 / a) натуральными числами для (a = -1, -2, -4, -8):

• Если (a = -1): [ x = \frac{-8}{-1} = 8 \quad (\text{натуральное число}). ]

• Если (a = -2): [ x = \frac{-8}{-2} = 4 \quad (\text{натуральное число}). ]

• Если (a = -4): [ x = \frac{-8}{-4} = 2 \quad (\text{натуральное число}). ]

• Если (a = -8): [ x = \frac{-8}{-8} = 1 \quad (\text{натуральное число}). ]

7. Ответ

Все целые значения (a), при которых корень уравнения (ax = -8) является натуральным числом:

[ a = -1, -2, -4, -8. ]