Найдите все решения уравнения cos2x+cosx=0, принадлежащие отрезку[-π;π]

Рассмотрим уравнение ( \cos(2x) + \cos(x) = 0 ).

Для начала, используем формулу двойного угла: [ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1. ] Подставим это в уравнение: [ 2\cos^2(x) - 1 + \cos(x) = 0. ] Приведем уравнение к стандартному виду: [ 2\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0. ]

Теперь обозначим ( y = \cos(x) ). Тогда уравнение принимает вид: [ 2y^2 + y - 1 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9. ] Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два решения: [ y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{4}. ] Таким образом, получаем: [ y_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{-4}{4} = -1. ]

Теперь вернемся к переменной ( x ):

1. Для ( \cos(x) = \frac{1}{2} ): [ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ] В пределах отрезка ([-π; π]) решения: [ x = \frac{\pi}{3}, \quad x = -\frac{\pi}{3}. ]

2. Для ( \cos(x) = -1 ): [ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ] В пределах отрезка ([-π; π]) единственное решение: [ x = -\pi. ]

Таким образом, все решения уравнения ( \cos(2x) + \cos(x) = 0 ) на отрезке ([-π; π]): [ x = -\pi, \quad x = -\frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{\pi}{3}. ]

Итак, окончательный ответ: [ \boxed{-\pi, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}}. ]

Рассмотрим уравнение:

[ \cos(2x) + \cos(x) = 0 ]

Шаг 1. Используем формулу для (\cos(2x))

Напомним, что (\cos(2x)) можно записать через (\cos(x)) по тригонометрической формуле:

[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 ]

Подставим это в уравнение:

[ 2\cos^2(x) - 1 + \cos(x) = 0 ]

Шаг 2. Преобразуем уравнение

Обозначим (\cos(x) = t), где (t \in [-1; 1]), так как (\cos(x)) принимает значения только в этом промежутке. Подставим (t) вместо (\cos(x)):

[ 2t^2 + t - 1 = 0 ]

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение

Решим квадратное уравнение:

[ 2t^2 + t - 1 = 0 ]

Для этого используем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 ]

Корни квадратного уравнения:

[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4} ]

Получаем два корня:

[ t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 ]

Таким образом, (\cos(x) = t = \frac{1}{2}) или (\cos(x) = -1).

Шаг 4. Решаем уравнения для (\cos(x))

Теперь найдем (x), удовлетворяющие этим значениям, на отрезке ([-\pi; \pi]).

Случай 1: (\cos(x) = \frac{1}{2})

Функция (\cos(x) = \frac{1}{2}) достигает этого значения в точках:

[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

На отрезке ([-\pi; \pi]) оставляем только значения (x), принадлежащие этому промежутку. Это:

[ x = -\frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{\pi}{3} ]

Случай 2: (\cos(x) = -1)

Функция (\cos(x) = -1) достигает этого значения в точке:

[ x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

На отрезке ([-\pi; \pi]) оставляем только значение (x = -\pi).

Шаг 5. Итоговое решение

Объединяем найденные значения (x):

[ x = -\pi, \quad x = -\frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{\pi}{3} ]

Ответ:

Все решения уравнения (\cos(2x) + \cos(x) = 0) на отрезке ([-\pi; \pi]):

[ x = -\pi, \, x = -\frac{\pi}{3}, \, x = \frac{\pi}{3}. ]