Найдите все занчения Х, при которых выполняется равенство f ' (x)=0, если f(x) - cos2x - x(корень из...

Для нахождения значений ( x ), при которых ( f'(x) = 0 ), сначала найдем производную функции ( f(x) = \cos(2x) - x\sqrt{3} ).

1. Найдем производную: [ f'(x) = -2\sin(2x) - \sqrt{3} ]

2. Установим ( f'(x) = 0 ): [ -2\sin(2x) - \sqrt{3} = 0 ] [ \sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

3. Найдем аргументы функции, для которых синус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}): [ 2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 2x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

4. Разделим на 2: [ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k\pi ]

5. Теперь найдем все значения ( x ) в пределах ( [0; 4\pi] ).

Для ( x = \frac{2\pi}{3} + k\pi ):

• ( k = 0: \frac{2\pi}{3} )
• ( k = 1: \frac{5\pi}{3} )
• ( k = 2: \frac{8\pi}{3} ) (выходит за пределы ( 4\pi ))

Для ( x = \frac{5\pi}{6} + k\pi ):

• ( k = 0: \frac{5\pi}{6} )
• ( k = 1: \frac{11\pi}{6} )
• ( k = 2: \frac{17\pi}{6} ) (выходит за пределы ( 4\pi ))

Таким образом, все значения ( x ) такие, что ( f'(x) = 0 ) в пределах ( [0; 4\pi] ): [ x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{6} ]

Для нахождения значений ( x ), при которых производная функции ( f(x) = \cos(2x) - x\sqrt{3} ) равна нулю, сначала нужно найти производную ( f'(x) ).

1. Найдем производную ( f'(x) ):

Используем правила дифференцирования:

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(2x)) - \frac{d}{dx}(x\sqrt{3}) ]

Для первой части, используя цепное правило, получаем:

[ \frac{d}{dx}(\cos(2x)) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x) ]

Для второй части, производная от ( x\sqrt{3} ) равна ( \sqrt{3} ).

Таким образом, производная будет:

[ f'(x) = -2\sin(2x) - \sqrt{3} ]

1. Решим уравнение ( f'(x) = 0 ):

Теперь приравняем производную к нулю:

[ -2\sin(2x) - \sqrt{3} = 0 ]

Это можно переписать как:

[ -2\sin(2x) = \sqrt{3} ]

Или:

[ \sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

1. Найдем значения ( 2x ):

Синус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}) в следующих квадрантах:

[ 2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 2x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Теперь разделим обе части на 2:

[ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

1. Найдем значения ( x ) в диапазоне ( [0; 4\pi] ):

Теперь подставим различные целые значения ( k ) для нахождения всех подходящих ( x ):

• Для ( x = \frac{2\pi}{3} + k\pi ):
  • При ( k = 0: x = \frac{2\pi}{3} )
  • При ( k = 1: x = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3} )
  • При ( k = 2: x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} ) (это меньше чем ( 4\pi ))
  • При ( k = 3: x = \frac{2\pi}{3} + 3\pi = \frac{11\pi}{3} ) (это больше чем ( 4\pi ))

Итак, значения для первого выражения:

• ( x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{8\pi}{3} )

• Для ( x = \frac{5\pi}{6} + k\pi ):

  • При ( k = 0: x = \frac{5\pi}{6} )
  • При ( k = 1: x = \frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi}{6} )
  • При ( k = 2: x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} ) (это больше чем ( 4\pi ))

Таким образом, значения для второго выражения:

• ( x = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} )

1. Итоговые значения:

Объединим все найденные значения в диапазоне ( [0; 4\pi] ):

[ x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} ]

Таким образом, все значения ( x ), при которых выполняется равенство ( f'(x) = 0 ) в заданном диапазоне, таковы.

Давайте разберем этот вопрос подробно.

Нам дано ( f(x) = \cos(2x) - x\sqrt{3} ), и требуется найти все значения ( x ), при которых производная ( f'(x) = 0 ), на отрезке ( [0; 4\pi] ).

Шаг 1. Вычислим производную функции ( f(x) )

Производная функции состоит из двух частей. Возьмем по очереди производные от каждого слагаемого:

1. Производная ( \cos(2x) ) по правилу производной сложной функции: [ \frac{d}{dx} \cos(2x) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x). ]
2. Производная ( -x\sqrt{3} ): [ \frac{d}{dx} (-x\sqrt{3}) = -\sqrt{3}. ]

Таким образом, производная ( f'(x) ) равна: [ f'(x) = -2\sin(2x) - \sqrt{3}. ]

Шаг 2. Найдем, где ( f'(x) = 0 )

Теперь решим уравнение: [ -2\sin(2x) - \sqrt{3} = 0. ]

Переносим ( -\sqrt{3} ) в правую часть: [ -2\sin(2x) = \sqrt{3}. ]

Делим обе части уравнения на ( -2 ), чтобы выразить ( \sin(2x) ): [ \sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Шаг 3. Найдем значения ( 2x ), при которых (\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2})

Функция синуса принимает значение ( -\frac{\sqrt{3}}{2} ) в следующих точках на тригонометрической окружности: [ 2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 2x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, ] где ( k \in \mathbb{Z} ) — целое число, определяющее период синуса.

Шаг 4. Найдем ( x ), принадлежащие отрезку ( [0; 4\pi] )

Теперь решим для ( x ): [ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k\pi. ]

Подставляя ( k ) в эти выражения, находим все значения ( x ), которые лежат в отрезке ( [0; 4\pi] ).

1. Для ( x = \frac{2\pi}{3} + k\pi ):

• При ( k = 0 ): ( x = \frac{2\pi}{3} ).
• При ( k = 1 ): ( x = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3} ).
• При ( k = 2 ): ( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} ).
• При ( k = 3 ): ( x = \frac{2\pi}{3} + 3\pi = \frac{11\pi}{3} ), но ( \frac{11\pi}{3} > 4\pi ), поэтому это значение не подходит.

Итак, из данного выражения ( x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{8\pi}{3} ).

2. Для ( x = \frac{5\pi}{6} + k\pi ):

• При ( k = 0 ): ( x = \frac{5\pi}{6} ).
• При ( k = 1 ): ( x = \frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi}{6} ).
• При ( k = 2 ): ( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} ).
• При ( k = 3 ): ( x = \frac{5\pi}{6} + 3\pi = \frac{23\pi}{6} ), но ( \frac{23\pi}{6} > 4\pi ), поэтому это значение не подходит.

Итак, из данного выражения ( x = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{17\pi}{6} ).

Шаг 5. Выпишем все подходящие значения

Объединяем все найденные значения: [ x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}. ]

Итак, ответ: [ x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}. ]