Найдите значения x , при которых значения производной функции f(x)=(1-x)/(x^2+8) отрицательны.

Для того чтобы найти значения ( x ), при которых значения производной функции ( f(x) = \frac{1-x}{x^2+8} ) отрицательны, начнем с нахождения самой производной функции.

Используем правило производной дроби (правило Лейбница): [ f'(x) = \frac{(1-x)'(x^2+8) - (1-x)(x^2+8)'}{(x^2+8)^2} ]

1. Найдем производные в числителе:
   • Производная ( (1-x) ) равна ( -1 ),
   • Производная ( x^2+8 ) равна ( 2x ).

Таким образом, получаем: [ f'(x) = \frac{-1 \cdot (x^2+8) - (1-x) \cdot 2x}{(x^2+8)^2} ] [ f'(x) = \frac{-x^2 - 8 - 2x + 2x^2}{(x^2+8)^2} ] [ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2} ]

1. Теперь нужно определить, при каких ( x ) данная производная отрицательна. Для этого рассмотрим числитель ( x^2 - 2x - 8 ) и найдем его знаки.

Решим квадратное уравнение ( x^2 - 2x - 8 = 0 ): [ x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2) = 0 ] Отсюда ( x = 4 ) и ( x = -2 ).

1. Рассмотрим знаки произведения на интервалах, разделенных корнями:
   • Если ( x < -2 ), то ( (x-4)(x+2) > 0 ) (оба множителя отрицательны),
   • Если ( -2 < x < 4 ), то ( (x-4)(x+2) < 0 ) (первый множитель отрицательный, второй положительный),
   • Если ( x > 4 ), то ( (x-4)(x+2) > 0 ) (оба множителя положительны).

Таким образом, производная функции ( f(x) ) отрицательна на интервале ( -2 < x < 4 ).

Ответ: Производная функции ( f(x) = \frac{1-x}{x^2+8} ) отрицательна при ( x ) из интервала ( (-2, 4) ).

Для нахождения значений x, при которых значения производной функции f(x) отрицательны, нужно найти точки, где производная равна 0 и точки, где производная меняет знак с положительного на отрицательное.

1. Найдем производную функции f(x): f(x) = (1-x)/(x^2 + 8) f'(x) = [(1-x)'(x^2+8) - (1-x)(x^2+8)']/ (x^2 + 8)^2 f'(x) = [(-1)(x^2+8) - (1-x)2x]/ (x^2 + 8)^2 f'(x) = (-x^2 - 8 - 2x + 2x) / (x^2 + 8)^2 f'(x) = (-x^2 - 8) / (x^2 + 8)^2

2. Найдем точки, где производная равна 0: -x^2 - 8 = 0 -x^2 = 8 x^2 = -8 Это уравнение не имеет решения в действительных числах, значит, нет точек, где производная равна 0.

3. Найдем точки, где производная меняет знак с положительного на отрицательное: Из производной f'(x) = (-x^2 - 8) / (x^2 + 8)^2 видно, что производная отрицательна, когда x^2 + 8 > 0 и x^2 + 8 < 0. Но так как x^2 + 8 всегда положительно, производная отрицательна при всех значениях x.

Таким образом, значения x, при которых значения производной функции f(x) отрицательны, это все действительные числа.