Найдите значение выражения 4ab²/ab²-2b при а=√5-1, b=√5+1

Замена значений a и b в выражении дает результат 8.

Давайте найдём значение выражения ( \frac{4ab^2}{ab^2 - 2b} ) при ( a = \sqrt{5} - 1 ) и ( b = \sqrt{5} + 1 ).

1. Подставим значения ( a ) и ( b ) в выражение.

   • ( a = \sqrt{5} - 1 )
   • ( b = \sqrt{5} + 1 )

2. Вычислим ( ab^2 ): [ ab^2 = (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)^2 ]

3. Найдём ( (\sqrt{5} + 1)^2 ): [ (\sqrt{5} + 1)^2 = (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} + 1) = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5} ]

4. Теперь умножим на ( a ): [ ab^2 = (\sqrt{5} - 1)(6 + 2\sqrt{5}) ]

5. Раскроем скобки: [ ab^2 = (\sqrt{5} - 1)(6 + 2\sqrt{5}) = 6\sqrt{5} + 2 \cdot 5 - 6 - 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5} + 10 - 6 - 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} + 4 ]

6. Найдём ( ab^2 - 2b ): [ ab^2 - 2b = (4\sqrt{5} + 4) - 2(\sqrt{5} + 1) ] [ ab^2 - 2b = 4\sqrt{5} + 4 - 2\sqrt{5} - 2 = 2\sqrt{5} + 2 ]

7. Теперь подставим ( ab^2 ) и ( ab^2 - 2b ) в исходное выражение: [ \frac{4ab^2}{ab^2 - 2b} = \frac{4(4\sqrt{5} + 4)}{2\sqrt{5} + 2} ]

8. Приведём числитель и знаменатель к более простому виду: [ \frac{4(4\sqrt{5} + 4)}{2\sqrt{5} + 2} = \frac{16\sqrt{5} + 16}{2\sqrt{5} + 2} ]

9. Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе: [ \frac{16(\sqrt{5} + 1)}{2(\sqrt{5} + 1)} ]

10. Сократим на ( \sqrt{5} + 1 ): [ \frac{16}{2} = 8 ]

Таким образом, значение выражения ( \frac{4ab^2}{ab^2 - 2b} ) при ( a = \sqrt{5} - 1 ) и ( b = \sqrt{5} + 1 ) равно 8.

Для начала подставим значения a и b в выражение:

a = √5 - 1 b = √5 + 1

4ab² / (ab² - 2b) = 4(√5 - 1)(√5 + 1)² / ((√5 - 1)(√5 + 1)² - 2(√5 + 1))

Сначала вычислим числитель:

4(√5 - 1)(√5 + 1)² = 4(√5 - 1)(5 + 2√5 + 1) = 4(√5 - 1)(6 + 2√5) = 24√5 - 4 + 8√5 - 8 = 32√5 - 12

Теперь вычислим знаменатель:

(√5 - 1)(√5 + 1)² - 2(√5 + 1) = (√5 - 1)(5 + 2√5 + 1) - 2(√5 + 1) = (√5 - 1)(6 + 2√5) - 2(√5 + 1) = 6√5 + 2√5 - 6 - 2√5 - 2 = 8√5 - 8

Теперь подставляем полученные значения в исходное выражение:

(32√5 - 12) / (8√5 - 8) = 4(4√5 - 3) / 4(2√5 - 2) = (4√5 - 3) / (2√5 - 2)

Таким образом, значение выражения 4ab² / (ab² - 2b) при a = √5 - 1 и b = √5 + 1 равно (4√5 - 3) / (2√5 - 2).