Найдите значение выражения 4ab²/ab²-2b при а=√5-1, b=√5+1

Замена значений a и b в выражении дает результат 8.

Давайте найдём значение выражения $\frac{4a{b}^2}{a{b}^2-2b}$ при $a=\sqrt{5}-1$ и $b=\sqrt{5}+1$.

1. Подставим значения $a$ и $b$ в выражение.

   • $a=\sqrt{5}-1$
   • $b=\sqrt{5}+1$

2. Вычислим $a{b}^2$: $a{b}^2=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1{)}^2$

3. Найдём $(\sqrt{5}+1$^2 ): $(\sqrt{5}+1{)}^2=(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)=5+2\sqrt{5}+1=6+2\sqrt{5}$

4. Теперь умножим на $a$: $a{b}^2=(\sqrt{5}-1)(6+2\sqrt{5})$

5. Раскроем скобки: $a{b}^2=(\sqrt{5}-1)(6+2\sqrt{5})=6\sqrt{5}+2\cdot 5-6-2\sqrt{5}=6\sqrt{5}+10-6-2\sqrt{5}=4\sqrt{5}+4$

6. Найдём $a{b}^2-2b$: $a{b}^2-2b=(4\sqrt{5}+4)-2(\sqrt{5}+1)$ $a{b}^2-2b=4\sqrt{5}+4-2\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}+2$

7. Теперь подставим $a{b}^2$ и $a{b}^2-2b$ в исходное выражение: $\frac{4a{b}^2}{a{b}^2-2b}=\frac{4(4\sqrt{5}+4)}{2\sqrt{5}+2}$

8. Приведём числитель и знаменатель к более простому виду: $\frac{4(4\sqrt{5}+4)}{2\sqrt{5}+2}=\frac{16\sqrt{5}+16}{2\sqrt{5}+2}$

9. Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе: $\frac{16(\sqrt{5}+1)}{2(\sqrt{5}+1)}$

10. Сократим на $\sqrt{5}+1$: $\frac{16}{2}=8$

Таким образом, значение выражения $\frac{4a{b}^2}{a{b}^2-2b}$ при $a=\sqrt{5}-1$ и $b=\sqrt{5}+1$ равно 8.

Для начала подставим значения a и b в выражение:

a = √5 - 1 b = √5 + 1

4ab² / $ab²-2b$ = 4$\surd 5-1$$\surd 5+1$² / $(\surd 5-1$$\surd 5+1$² - 2$\surd 5+1$)

Сначала вычислим числитель:

4$\surd 5-1$$\surd 5+1$² = 4$\surd 5-1$$5+2\surd 5+1$ = 4$\surd 5-1$$6+2\surd 5$ = 24√5 - 4 + 8√5 - 8 = 32√5 - 12

Теперь вычислим знаменатель:

$\surd 5-1$$\surd 5+1$² - 2$\surd 5+1$ = $\surd 5-1$$5+2\surd 5+1$ - 2$\surd 5+1$ = $\surd 5-1$$6+2\surd 5$ - 2$\surd 5+1$ = 6√5 + 2√5 - 6 - 2√5 - 2 = 8√5 - 8

Теперь подставляем полученные значения в исходное выражение:

$32\surd 5-12$ / $8\surd 5-8$ = 4$4\surd 5-3$ / 4$2\surd 5-2$ = $4\surd 5-3$ / $2\surd 5-2$

Таким образом, значение выражения 4ab² / $ab²-2b$ при a = √5 - 1 и b = √5 + 1 равно $4\surd 5-3$ / $2\surd 5-2$.