Найдите значение X при которых значение производной функции F(x)=(x+1)/(x^2+3) положительны

Производная функции F(x) равна F'(x) = (2 - x^2) / (x^2 + 3)^2. Для того чтобы значение производной было положительным, необходимо, чтобы числитель был положительным, а знаменатель был положительным и не равен нулю. Таким образом, значение X, при котором значение производной функции F(x) положительно, будет в интервале (-∞; -√3) и (√3; +∞).

Для того чтобы найти значения ( x ), при которых производная функции ( F(x) = \frac{x+1}{x^2+3} ) положительна, сначала найдем эту производную.

Применяем правило дифференцирования частного: [ F'(x) = \frac{(x+1)'(x^2+3) - (x+1)(x^2+3)'}{(x^2+3)^2} ] [ F'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+3) - (x+1) \cdot 2x}{(x^2+3)^2} ] [ F'(x) = \frac{x^2 + 3 - 2x^2 - 2x}{(x^2+3)^2} ] [ F'(x) = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} ]

Знаменатель ((x^2+3)^2) всегда положителен, так как квадрат любого числа положителен, и к этому прибавляется положительное число 3. Поэтому знак производной будет зависеть только от числителя (-x^2 - 2x + 3).

Рассмотрим числитель как квадратное уравнение: [ -x^2 - 2x + 3 = 0 ] Для нахождения корней используем формулу корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] [ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3}}{2 \cdot (-1)} ] [ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} ] [ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{-2} ] [ x = \frac{2 \pm 4}{-2} ] [ x = \frac{2 + 4}{-2} = -3 \quad \text{или} \quad x = \frac{2 - 4}{-2} = 1 ]

Таким образом, корни квадратного уравнения равны ( x = -3 ) и ( x = 1 ). Поскольку мы рассматриваем квадратное уравнение с отрицательным старшим коэффициентом, оно имеет положительные значения между корнями. Следовательно, производная ( F'(x) ) положительна, когда ( -3 < x < 1 ).

Итак, производная функции ( F(x) = \frac{x+1}{x^2+3} ) положительна при ( x ) в интервале ( (-3, 1) ).

Для того чтобы найти значения X, при которых значение производной функции F(x) = (x + 1) / (x^2 + 3) положительно, необходимо рассмотреть производную этой функции. Для этого нужно найти производную F'(x) и найти значения X, при которых F'(x) > 0.

F(x) = (x + 1) / (x^2 + 3)

F'(x) = [(x^2 + 3) (1) - (x + 1) (2x)] / (x^2 + 3)^2 F'(x) = (x^2 + 3 - 2x^2 - 2) / (x^2 + 3)^2 F'(x) = (-x^2 - 2x + 3) / (x^2 + 3)^2

Теперь необходимо найти значения X, при которых F'(x) > 0.

-x^2 - 2x + 3 > 0 x^2 + 2x - 3 < 0 (x + 3)(x - 1) < 0

Решаем неравенство: x + 3 > 0, x - 1 < 0 x > -3, x < 1

Таким образом, значения X, при которых значение производной функции F(x) = (x + 1) / (x^2 + 3) положительно, находятся в интервале (-3, 1).