Найти для функции f(x)=5x^{4}+3x^{2}-7 первообразную,график которой проходит через точки А(1;-4)

Для нахождения первообразной функции f(x) необходимо проинтегрировать каждый член функции по отдельности.

Итак, интегрируем каждый член: ∫(5x^4)dx = (5/5)x^5 + C1 = x^5 + C1, ∫(3x^2)dx = (3/3)x^3 + C2 = x^3 + C2, ∫(-7)dx = -7x + C3,

Где С1, С2, С3 - константы интегрирования.

Теперь объединим все полученные интегралы и найдем общую первообразную функцию: F(x) = x^5 + x^3 - 7x + C,

Где С - константа интегрирования.

Теперь, чтобы найти значение константы С, используем условие, что график проходит через точку A(1;-4). Подставляем x=1 и y=-4 в уравнение F(x): -4 = 1^5 + 1^3 - 7*1 + C, -4 = 1 + 1 - 7 + C, -4 = -5 + C, C = 1.

Итак, первообразная функции f(x)=5x^4+3x^2-7, проходящая через точку A(1;-4), будет иметь вид: F(x) = x^5 + x^3 - 7x + 1.

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7 ), нам нужно выполнить интегрирование. Первообразная ( F(x) ) функции ( f(x) ) будет иметь вид:

[ F(x) = \int (5x^4 + 3x^2 - 7) \, dx ]

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

1. Для ( 5x^4 ): [ \int 5x^4 \, dx = \frac{5}{5}x^{4+1} = x^5 ]

2. Для ( 3x^2 ): [ \int 3x^2 \, dx = \frac{3}{3}x^{2+1} = x^3 ]

3. Для (-7): [ \int -7 \, dx = -7x ]

Собрав все вместе, получаем общую первообразную:

[ F(x) = x^5 + x^3 - 7x + C ]

где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку ( A(1; -4) ). Это значит, что при ( x = 1 ), значение первообразной ( F(x) ) равно (-4). Подставим ( x = 1 ) и ( F(x) = -4 ) в уравнение:

[ F(1) = 1^5 + 1^3 - 7 \times 1 + C = -4 ]

[ 1 + 1 - 7 + C = -4 ]

[ -5 + C = -4 ]

[ C = -4 + 5 = 1 ]

Таким образом, постоянная ( C ) равна 1. Подставляем её в уравнение первообразной:

[ F(x) = x^5 + x^3 - 7x + 1 ]

Итак, первообразная функции ( f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7 ), график которой проходит через точку ( A(1; -4) ), имеет вид:

[ F(x) = x^5 + x^3 - 7x + 1 ]