Найти допустимые значения х 2х-3 х-3 ------ + ------- х+2 х^2-1

Чтобы найти допустимые значения ( x ) в данном выражении:

[ \frac{2x-3}{x+2} + \frac{x-3}{x^2-1} ]

необходимо определить, когда знаменатели не равны нулю.

1. Для первого дроби: ( x + 2 \neq 0 ) (\Rightarrow x \neq -2).

2. Для второго дроби: ( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \neq 0 ) (\Rightarrow x \neq 1) и ( x \neq -1).

Таким образом, допустимые значения ( x ) будут:

[ x \neq -2, \quad x \neq -1, \quad x \neq 1 ]

Рассмотрим выражение:

[ \frac{2x - 3}{x + 2} + \frac{x - 3}{x^2 - 1}. ]

Шаг 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ) выражения.

Для нахождения допустимых значений ( x ), нужно исключить те значения, при которых знаменатели обращаются в ноль. В данном выражении присутствуют два знаменателя:

1. ( x + 2 ),
2. ( x^2 - 1 ).

Рассмотрим каждый из них:

1. ( x + 2 = 0 ), отсюда ( x = -2 ).
2. ( x^2 - 1 = 0 ). Это разность квадратов, раскладывается как ( (x - 1)(x + 1) = 0 ), отсюда ( x = 1 ) и ( x = -1 ).

Таким образом, нужно исключить три значения: ( x = -2 ), ( x = -1 ), ( x = 1 ).

ОДЗ: ( x \neq -2 ), ( x \neq -1 ), ( x \neq 1 ).

Шаг 2. Приведение к общему знаменателю.

В знаменателе первой дроби стоит ( x + 2 ), а во второй — ( x^2 - 1 ). Заметим, что ( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) ). Общий знаменатель будет равен произведению всех уникальных множителей:

[ (x + 2)(x - 1)(x + 1). ]

Приведем дроби к общему знаменателю:

1. Первую дробь ( \frac{2x - 3}{x + 2} ) домножим на ( (x - 1)(x + 1) ), чтобы получить общий знаменатель.
2. Вторую дробь ( \frac{x - 3}{x^2 - 1} ) домножим на ( x + 2 ).

Итак, выражение станет:

[ \frac{(2x - 3)(x^2 - 1)}{(x + 2)(x - 1)(x + 1)} + \frac{(x - 3)(x + 2)}{(x + 2)(x - 1)(x + 1)}. ]

Шаг 3. Объединение дробей.

Общая дробь будет иметь общий знаменатель ( (x + 2)(x - 1)(x + 1) ). Числитель суммы:

[ (2x - 3)(x^2 - 1) + (x - 3)(x + 2). ]

Раскроем скобки в числителе:

[ (2x - 3)(x^2 - 1) = (2x - 3)(x - 1)(x + 1) = (далее!)

Чтобы найти допустимые значения ( x ) для данного выражения:

[ \frac{2x - 3}{x + 2} + \frac{x - 3}{x^2 - 1} ]

сначала нужно определить, при каких значениях ( x ) знаменатели выражений не равны нулю, так как деление на ноль не определено.

1. Первый знаменатель: ( x + 2 )

   Установим, что ( x + 2 \neq 0 ):

   [ x \neq -2 ]

2. Второй знаменатель: ( x^2 - 1 )

   Этот знаменатель можно разложить на множители:

   [ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) ]

   Установим, что ( x^2 - 1 \neq 0 ):

   [ (x - 1)(x + 1) \neq 0 ]

   Отсюда следует, что:

   [ x - 1 \neq 0 \quad \text{и} \quad x + 1 \neq 0 ]

   Это дает нам два условия:

   [ x \neq 1 \quad \text{и} \quad x \neq -1 ]

Теперь мы имеем три условия:

• ( x \neq -2 )
• ( x \neq 1 )
• ( x \neq -1 )

Таким образом, допустимые значения ( x ) – это все действительные числа, кроме ( -2 ), ( 1 ) и ( -1 ).

В результате, допустимые значения ( x ) можно записать как:

[ x \in \mathbb{R} \setminus {-2, -1, 1} ]

Это означает, что ( x ) может принимать любые значения, кроме ( -2 ), ( -1 ) и ( 1 ).