Найти f'(x), f'(1), если f(x)=2^x*log2 x

Чтобы найти производную функции ( f(x) = 2^x \cdot \log_2 x ), нужно применить правила дифференцирования. В данном случае мы имеем произведение двух функций, поэтому необходимо использовать правило произведения.

Функция задана в виде:

[ f(x) = u(x) \cdot v(x), ]

где ( u(x) = 2^x ) и ( v(x) = \log_2 x ).

Правило произведения для нахождения производной функции ( f(x) ) гласит:

[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x). ]

Сначала найдем производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ).

1. Найдем ( u'(x) ):

[ u(x) = 2^x. ]

Производная функции ( 2^x ) с точки зрения показательной функции ( a^x ) равна:

[ u'(x) = 2^x \cdot \ln 2. ]

1. Найдем ( v'(x) ):

[ v(x) = \log_2 x. ]

Используем формулу для производной логарифмической функции с произвольным основанием ( a ):

[ v'(x) = \frac{1}{x \ln a}, ]

где ( a = 2 ). Таким образом,

[ v'(x) = \frac{1}{x \ln 2}. ]

Теперь подставим найденные производные в правило произведения:

[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x). ]

Подставим ( u(x), u'(x), v(x) ) и ( v'(x) ):

[ f'(x) = (2^x \cdot \ln 2) \cdot \log_2 x + 2^x \cdot \frac{1}{x \ln 2}. ]

Упростим выражение:

[ f'(x) = 2^x \cdot \ln 2 \cdot \log_2 x + \frac{2^x}{x \ln 2}. ]

Теперь найдем ( f'(1) ):

[ f'(1) = 2^1 \cdot \ln 2 \cdot \log_2 1 + \frac{2^1}{1 \cdot \ln 2}. ]

Зная, что ( \log_2 1 = 0 ):

[ f'(1) = 2 \cdot \ln 2 \cdot 0 + \frac{2}{\ln 2}. ]

Получаем:

[ f'(1) = 0 + \frac{2}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2}. ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = 2^x \cdot \log_2 x ) равна:

[ f'(x) = 2^x \cdot \ln 2 \cdot \log_2 x + \frac{2^x}{x \ln 2}, ]

а значение производной в точке ( x = 1 ) равно:

[ f'(1) = \frac{2}{\ln 2}. ]

Для нахождения производной функции f(x) = 2^x * log2(x) необходимо использовать правило дифференцирования произведения функций.

f'(x) = (2^x log2(x))' = (2^x)' log2(x) + 2^x * (log2(x))'

Для нахождения производной 2^x и log2(x) используем правила дифференцирования функций:

(2^x)' = 2^x ln(2) (log2(x))' = 1 / (x ln(2))

Подставляем найденные производные обратно в формулу для f'(x):

f'(x) = 2^x ln(2) log2(x) + 2^x (1 / (x ln(2)))

Теперь можем найти значение производной f'(1) подставив x = 1:

f'(1) = 2^1 ln(2) log2(1) + 2^1 (1 / (1 ln(2)))

f'(1) = 2 ln(2) 0 + 2 * (1 / ln(2))

f'(1) = 2 / ln(2)

Таким образом, производная функции f(x) = 2^x log2(x) равна f'(x) = 2^x ln(2) log2(x) + 2^x (1 / (x * ln(2))) и f'(1) = 2 / ln(2).