Найти интервалы возрастания и убывания f(x)=x^3-2x^2+x+3

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции ( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 ), нам необходимо сначала найти её производную ( f'(x) ) и затем определить знак производной на различных интервалах.

1. Найдем производную функции ( f(x) ): [ f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 ] [ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 ]

2. Решим уравнение ( f'(x) = 0 ) для нахождения критических точек: [ 3x^2 - 4x + 1 = 0 ] Решая это квадратное уравнение, используем формулу для корней: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 3 ), ( b = -4 ), ( c = 1 ), [ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} ] Получаем два корня: [ x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} ]

3. Исследуем знак производной ( f'(x) ) на интервалах ( (-\infty, \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}, 1), (1, +\infty) ):

   • Подставляем точку ( x = 0 ) (которая находится в интервале ( (-\infty, \frac{1}{3}) )): [ f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1 > 0 ] Значит, функция возрастает на интервале ( (-\infty, \frac{1}{3}) ).

   • Подставляем точку ( x = \frac{2}{3} ) (которая находится в интервале ( (\frac{1}{3}, 1) )): [ f'(\frac{2}{3}) = 3 \cdot (\frac{2}{3})^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} + 1 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 1 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 1 = -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{1}{3} < 0 ] Значит, функция убывает на интервале ( (\frac{1}{3}, 1) ).

   • Подставляем точку ( x = 2 ) (которая находится в интервале ( (1, +\infty) )): [ f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0 ] Значит, функция возрастает на интервале ( (1, +\infty) ).

Итак, интервалы возрастания функции ( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 ) — это ( (-\infty, \frac{1}{3}) ) и ( (1, +\infty) ), а интервал убывания — это ( (\frac{1}{3}, 1) ).

Для того чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3, нужно найти ее производную и посмотреть ее знаки на интервалах.

Сначала найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 4x + 1

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 4x + 1 = 0 (3x - 1)(x - 1) = 0 x = 1/3, x = 1

Теперь построим таблицу знаков производной: x < 1/3: f'(x) > 0, функция возрастает 1/3 < x < 1: f'(x) < 0, функция убывает x > 1: f'(x) > 0, функция возрастает

Итак, интервалы возрастания функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3: (-∞, 1/3) и (1, +∞), интервал убывания: (1/3, 1).