Найти Корень из 7*ctg x,если sin^2 x=4/11

Для решения задачи, нужно найти (\sqrt{7 \cdot \cot x}), зная, что (\sin^2 x = \frac{4}{11}).

1. Найти (\cos^2 x):

   Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 x + \cos^2 x = 1. ] Подставляем известное значение: [ \frac{4}{11} + \cos^2 x = 1. ] Отсюда: [ \cos^2 x = 1 - \frac{4}{11} = \frac{11}{11} - \frac{4}{11} = \frac{7}{11}. ]

2. Вычислить (\cot x):

   По определению, котангенс: [ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}. ] Найдём (\cos x) и (\sin x): [ \sin x = \sqrt{\frac{4}{11}} = \frac{2}{\sqrt{11}}. ] [ \cos x = \sqrt{\frac{7}{11}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{11}}. ]

   Теперь подставляем в (\cot x): [ \cot x = \frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{11}}}{\frac{2}{\sqrt{11}}} = \frac{\sqrt{7}}{2}. ]

3. Найти (\sqrt{7 \cdot \cot x}):

   Подставляем значение (\cot x): [ 7 \cdot \cot x = 7 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{7\sqrt{7}}{2}. ]

   Теперь найдём корень: [ \sqrt{7 \cdot \cot x} = \sqrt{\frac{7\sqrt{7}}{2}}. ]

   Для упрощения: [ \sqrt{\frac{7\sqrt{7}}{2}} = \sqrt{\frac{7^{3/2}}{2}} = \sqrt{\frac{7^{1.5}}{2}} = \frac{\sqrt{7^{1.5}}}{\sqrt{2}} = \frac{7^{3/4}}{\sqrt{2}}. ]

В итоге, (\sqrt{7 \cdot \cot x} = \frac{7^{3/4}}{\sqrt{2}}).

Таким образом, значение (\sqrt{7 \cdot \cot x}) выражается через корни.

Для начала найдем значение ctg x, используя соотношение sin^2 x + cos^2 x = 1: sin^2 x + cos^2 x = 1 4/11 + cos^2 x = 1 cos^2 x = 1 - 4/11 cos^2 x = 7/11 cos x = ±√(7/11) ctg x = cos x / sin x ctg x = ±√(7/11) / ±√(4/11) ctg x = ±√(7/4) ctg x = ±√7 / 2

Теперь найдем корень из 7ctg x: √(7ctg x) = √(7 ±√7 / 2) √(7ctg x) = √(7 ±√7) / 2 √(7ctg x) = ±√49 / 2 √(7*ctg x) = ±7 / 2

Таким образом, корень из 7*ctg x равен ±7 / 2.