Найти корни уравнения cos(3x-П/2)=1/2. принадлежащие полуинтервалу (п; 3п/2]

Корни уравнения cos(3x-П/2)=1/2 на полуинтервале (п; 3п/2] равны x=5п/6.

Для решения уравнения (\cos(3x - \pi/2) = 1/2) найдем общие решения и затем определим, какие из них принадлежат полуинтервалу ((\pi; 3\pi/2]).

Шаг 1: Найдем общие решения уравнения

Основное уравнение (\cos \theta = 1/2) имеет решения: [ \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Подставим (\theta = 3x - \pi/2): [ 3x - \pi/2 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 3x - \pi/2 = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ]

Решим каждое из этих уравнений относительно (x):

1. (3x - \pi/2 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi): [ 3x = \frac{\pi}{3} + \pi/2 + 2k\pi ] [ 3x = \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} + 2k\pi ] [ 3x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ] [ x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} ]

2. (3x - \pi/2 = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi): [ 3x = -\frac{\pi}{3} + \pi/2 + 2k\pi ] [ 3x = -\frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} + 2k\pi ] [ 3x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ] [ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} ]

Шаг 2: Найдем решения на полуинтервале ((\pi; 3\pi/2])

Рассмотрим каждое выражение для (x) и найдём значения (k), при которых (x) попадает в полуинтервал ((\pi; 3\pi/2]).

1. (x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}):

   Ищем (k) так, чтобы (\pi < \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{2}).

   • Для (\pi < \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}): [ \frac{2k\pi}{3} > \pi - \frac{5\pi}{18} ] [ \frac{2k\pi}{3} > \frac{13\pi}{18} ] [ k > \frac{13}{12} ] [ k \geq 2 ]

   • Для (\frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{2}): [ \frac{2k\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{2} - \frac{5\pi}{18} ] [ \frac{2k\pi}{3} \leq \frac{22\pi}{18} ] [ k \leq \frac{11}{6} ] [ k \leq 1 ]

   Таким образом, для данного уравнения подходящих (k) нет.

2. (x = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}):

   Ищем (k) так, чтобы (\pi < \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{2}).

   • Для (\pi < \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}): [ \frac{2k\pi}{3} > \pi - \frac{\pi}{18} ] [ \frac{2k\pi}{3} > \frac{17\pi}{18} ] [ k > \frac{17}{12} ] [ k \geq 2 ]

   • Для (\frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{2}): [ \frac{2k\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{18} ] [ \frac{2k\pi}{3} \leq \frac{26\pi}{18} ] [ k \leq \frac{13}{6} ] [ k \leq 2 ]

   Таким образом, допустимо (k = 2).

Подставим (k = 2) в (x = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}): [ x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} ] [ x = \frac{\pi}{18} + \frac{24\pi}{18} ] [ x = \frac{25\pi}{18} ]

Таким образом, единственным корнем уравнения, принадлежащим полуинтервалу ((\pi; 3\pi/2]), является (x = \frac{25\pi}{18}).

Для того чтобы найти корни уравнения cos(3x-π/2)=1/2, необходимо решить уравнение 3x-π/2 = π/3 + 2πk, где k - целое число. Далее найдем значения x из данного уравнения, которые принадлежат полуинтервалу (π; 3π/2].

3x-π/2 = π/3 + 2πk 3x = π/3 + 2πk + π/2 3x = π/3 + π/2 + 2πk 3x = 5π/6 + 2πk x = 5π/18 + 2πk

Таким образом, корни уравнения cos(3x-π/2)=1/2, принадлежащие полуинтервалу (π; 3π/2], будут равны x = 5π/18 + 2πk, где k - целое число.