Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x3-2x^2+x+3 на отрезке 0 и 3/2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции ( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 ) на заданном отрезке ([0, \frac{3}{2}]), сначала найдем производную функции, затем определим стационарные точки и исследуем поведение функции на концах отрезка.

1. Находим производную функции: [ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1. ]

2. Решаем уравнение ( f'(x) = 0 ) для нахождения критических точек: [ 3x^2 - 4x + 1 = 0. ] Решим это квадратное уравнение: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}. ] Отсюда получаем два корня: [ x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{1}{3}. ]

3. Проверяем знаки производной в интервалах, определяемых этими точками, чтобы выяснить характер точек (минимум или максимум):

   • При ( x < \frac{1}{3} ), выберем ( x = 0 ), тогда ( f'(0) = 1 > 0 ) — функция возрастает.
   • При ( \frac{1}{3} < x < 1 ), выберем ( x = \frac{2}{3} ), тогда ( f'(\frac{2}{3}) = 3(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) + 1 = -\frac{1}{3} < 0 ) — функция убывает.
   • При ( x > 1 ), выберем ( x = \frac{3}{2} ), тогда ( f'(\frac{3}{2}) = 3(\frac{3}{2})^2 - 4(\frac{3}{2}) + 1 = \frac{5}{4} > 0 ) — функция возрастает.

   Следовательно, ( x = \frac{1}{3} ) — точка локального максимума, а ( x = 1 ) — точка локального минимума.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

   • ( f(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 0 + 3 = 3 ),
   • ( f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{26}{27} + 3 = \frac{107}{27} \approx 3.96 ),
   • ( f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 3 ),
   • ( f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^3 - 2(\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - \frac{18}{4} + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - \frac{9}{2} + \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{8} + 3 = \frac{33}{8} = 4.125 ).

Из полученных значений видно, что наименьшее значение функции на отрезке ([0, \frac{3}{2}]) равно (3) (достигается в точках (x = 0) и (x = 1)), а наибольшее значение равно (4.125) (достигается в точке (x = \frac{3}{2})).

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [0, 3/2], нужно сначала найти критические точки функции в этом интервале.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 4x + 1

2. Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 3x^2 - 4x + 1 = 0 (x-1)(3x-1) = 0 x = 1, x = 1/3

3. Проверим значения функции в найденных критических точках и на концах интервала: f(0) = 3 f(1/3) ≈ 2.96296 f(1) = 3 f(3/2) = 3/8

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [0, 3/2] равно 3, а наибольшее значение функции - около 2.96296.