Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии: 25; 5; .; 1/25; . (Подчёркнуто 1/25) ПОМОГИТЕ...

Чтобы найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии, давайте сначала определим, какие члены прогрессии мы имеем:

1. Первый член (a₁) = 25
2. Второй член (a₂) = 5
3. Третий член (a₃) = ?
4. Четвёртый член (a₄) = 1/25
5. Пятый член (a₅) = ?

Геометрическая прогрессия характеризуется тем, что каждый последующий член получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии (q).

Сначала найдем знаменатель:

[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} ]

Теперь проверим, является ли это значение q верным, найдя третий член (a₃):

[ a_3 = a_2 \cdot q = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1 ]

Теперь найдем четвёртый член (a₄):

[ a_4 = a_3 \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} ]

И, наконец, найдём пятый член (a₅):

[ a_5 = a_4 \cdot q = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25} ]

Мы видим, что четвёртый член действительно равен ( \frac{1}{25} ), как указано в условии.

Теперь, чтобы определить номер подчеркнутого члена (1/25), мы можем записать общий вид n-го члена геометрической прогрессии:

[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} ]

Подставим известные значения:

[ a_n = 25 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{(n-1)} ]

Теперь мы знаем, что ( a_n = \frac{1}{25} ). Подставим это значение в уравнение:

[ \frac{1}{25} = 25 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{(n-1)} ]

Умножим обе стороны на 25:

[ 1 = 625 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{(n-1)} ]

Сократим:

[ \left(\frac{1}{5}\right)^{(n-1)} = \frac{1}{625} ]

Поскольку ( 625 = 5^4 ), мы можем записать:

[ \frac{1}{625} = \left(\frac{1}{5}\right)^4 ]

Таким образом, имеем:

[ (n-1) = 4 ]

Следовательно:

[ n = 5 ]

Таким образом, номер подчеркнутого члена (1/25) в данной геометрической прогрессии — это 5.

Для решения задачи найдем номер подчёркнутого члена геометрической прогрессии ( \frac{1}{25} ).

Напомним свойства геометрической прогрессии:

1. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии ( q ).

   Формула общего члена геометрической прогрессии: [ a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, ] где:

   • ( a_n ) — ( n )-й член прогрессии,
   • ( a_1 ) — первый член прогрессии,
   • ( q ) — знаменатель прогрессии,
   • ( n ) — номер члена прогрессии.

2. Знаменатель ( q ) прогрессии можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий: [ q = \frac{a_{k+1}}{a_k}. ]

Решение:

Дана геометрическая прогрессия: ( 25; 5; \ldots; \frac{1}{25}; \ldots ). Необходимо найти номер подчёркнутого члена ( a_n = \frac{1}{25} ).

Шаг 1. Найдём знаменатель ( q ):

Возьмём два первых члена: ( a_1 = 25 ), ( a_2 = 5 ). Найдём ( q ): [ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}. ]

Знаменатель геометрической прогрессии ( q = \frac{1}{5} ).

Шаг 2. Применим формулу общего члена:

Формула для ( n )-го члена геометрической прогрессии: [ a_n = a_1 \cdot q^{n-1}. ] Подставим известные значения: ( a_1 = 25 ), ( q = \frac{1}{5} ), ( a_n = \frac{1}{25} ). Подставим эти данные в формулу: [ \frac{1}{25} = 25 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1}. ]

Шаг 3. Упростим уравнение:

Разделим обе стороны уравнения на 25: [ \frac{1}{25} \div 25 = \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1}. ]

Левая часть: [ \frac{1}{25} \div 25 = \frac{1}{625}. ]

Тогда уравнение примет вид: [ \frac{1}{625} = \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1}. ]

Шаг 4. Представим ( \frac{1}{625} ) как степень ( \frac{1}{5} ):

Заметим, что ( 625 = 5^4 ), значит: [ \frac{1}{625} = \left( \frac{1}{5} \right)^4. ]

Тогда уравнение становится: [ \left( \frac{1}{5} \right)^4 = \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1}. ]

Так как основания одинаковые, приравняем степени: [ 4 = n - 1. ]

Шаг 5. Найдём ( n ):

[ n = 4 + 1 = 5. ]

Ответ:

Подчёркнутый член ( \frac{1}{25} ) является 5-м членом геометрической прогрессии.