Найти область определения функции у= корень из х^2-4х

Для того чтобы найти область определения функции у = √(x^2 - 4x), нужно определить значения х, при которых подкоренное выражение (x^2 - 4x) неотрицательно или неотрицательно и не равно нулю, так как извлечение корня из отрицательного числа не является допустимым вещественным значением.

Сначала найдем корни уравнения x^2 - 4x = 0: x^2 - 4x = 0 x(x - 4) = 0 x = 0 или x = 4

Таким образом, у нас две точки, в которых подкоренное выражение равно нулю: x = 0 и x = 4. Эти значения являются граничными точками области определения.

Теперь проведем анализ знаков подкоренного выражения:

1. Если x < 0, то x^2 > 0 и -4x < 0, следовательно x^2 - 4x > 0. Таким образом, при x < 0 функция у = √(x^2 - 4x) определена.
2. Если 0 < x < 4, то x^2 > 0 и -4x < 0, следовательно x^2 - 4x > 0. Таким образом, при 0 < x < 4 функция у = √(x^2 - 4x) определена.
3. Если x > 4, то x^2 > 0 и -4x > 0, следовательно x^2 - 4x > 0. Таким образом, при x > 4 функция у = √(x^2 - 4x) определена.

Итак, областью определения функции у = √(x^2 - 4x) является множество всех действительных чисел x, кроме интервала (0, 4).

Чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt{x^2 - 4x} ), необходимо определить, при каких значениях ( x ) подкоренное выражение ( x^2 - 4x ) неотрицательно, поскольку квадратный корень определён только для неотрицательных чисел.

Рассмотрим неравенство:

[ x^2 - 4x \geq 0 ]

Решим его. Для этого сначала найдём нули квадратного трёхчлена, то есть решим уравнение:

[ x^2 - 4x = 0 ]

Это уравнение можно решить методом вынесения общего множителя за скобки:

[ x(x - 4) = 0 ]

Отсюда получаем два корня:

[ x_1 = 0 ] [ x_2 = 4 ]

Это значит, что ( x^2 - 4x = 0 ) при ( x = 0 ) или ( x = 4 ).

Теперь определим знаки выражения ( x^2 - 4x ) на промежутках, определённых корнями. Для этого рассмотрим промежутки: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 4) ) и ( (4, +\infty) ).

1. На промежутке ( (-\infty, 0) ): Выберите тестовую точку, например, ( x = -1 ): [ (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 > 0 ] Следовательно, на промежутке ( (-\infty, 0) ) выражение положительно.

2. На промежутке ( (0, 4) ): Выберите тестовую точку, например, ( x = 2 ): [ 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0 ] Следовательно, на промежутке ( (0, 4) ) выражение отрицательно.

3. На промежутке ( (4, +\infty) ): Выберите тестовую точку, например, ( x = 5 ): [ 5^2 - 4 \cdot 5 = 25 - 20 = 5 > 0 ] Следовательно, на промежутке ( (4, +\infty) ) выражение положительно.

Таким образом, ( x^2 - 4x \geq 0 ) на промежутках ( (-\infty, 0] ) и ( [4, +\infty) ).

Итак, область определения функции ( y = \sqrt{x^2 - 4x} ) является объединением промежутков:

[ (-\infty, 0] \cup [4, +\infty) ]

Для функции у=√(x^2-4x) областью определения будет множество всех действительных чисел x, для которых выражение под корнем неотрицательно, то есть x^2-4x≥0.