Найти область определения функции y=корень 6-х-х^2/х+2

Для нахождения области определения функции ( y = \frac{\sqrt{6 - x - x^2}}{x + 2} ), необходимо определить, при каких значениях ( x ) выражение под корнем и знаменатель имеют смысл.

1. Выражение под корнем: [ 6 - x - x^2 \geq 0 ] Это квадратное неравенство. Решим его: [ -x^2 - x + 6 \geq 0 ] Перепишем в стандартной форме: [ -x^2 - x + 6 = 0 ] Умножим на -1, чтобы упростить решение: [ x^2 + x - 6 = 0 ] Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{2} ] [ x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 ]

   Значит, неравенство ( x^2 + x - 6 \geq 0 ) решается методом интервалов:

   • Знаки на интервалах: ((-∞, -3)), ((-3, 2)), ((2, ∞))
   • Находим знаки, подставляя тестовые точки:
     • ( x = -4 ): ( (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0 )
     • ( x = 0 ): ( 0^2 + 0 - 6 = -6 < 0 )
     • ( x = 3 ): ( 3^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 )

   Таким образом, решение неравенства: [ x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty) ]

2. Знаменатель: [ x + 2 \neq 0 ] Решение: [ x \neq -2 ]

Объединяем результаты:

• Функция определена для ( x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty) ), но ( x \neq -2 ).

Следовательно, область определения функции: [ D(y) = (-\infty, -3] \cup (-3, -2) \cup (2, \infty) ]

Для того чтобы найти область определения функции y = sqrt(6 - x - x^2 / (x + 2)), нужно учитывать два основных ограничения:

1. Из-за корня в функции y, выражение под ним (6 - x - x^2 / (x + 2)) должно быть больше или равно нулю, чтобы корень был действительным числом. Это означает, что:

6 - x - x^2 / (x + 2) >= 0

1. Для выражений под знаком деления мы не должны делить на ноль. Таким образом, знаменатель (x + 2) не должен быть равен нулю:

x + 2 != 0 x != -2

Исходя из этих двух ограничений, область определения функции y = sqrt(6 - x - x^2 / (x + 2)) будет состоять из всех действительных чисел x, для которых выполняются оба условия:

1. 6 - x - x^2 / (x + 2) >= 0
2. x != -2

Таким образом, область определения функции будет составлять все действительные числа x, кроме x = -2, для которых 6 - x - x^2 / (x + 2) >= 0.

Для функции y = sqrt(6-x-x^2)/(x+2) областью определения будет множество всех действительных чисел x, за исключением значений, при которых знаменатель равен нулю: x ≠ -2.