Найти область определения функции y=tg2x. является ли эта функция четной?

Область определения функции y=tg2x - все действительные числа, кроме x, при которых tg2x существует. Функция y=tg2x не является четной, так как tg2(-x) не равно -tg2x.

Для функции (y = \tan(2x)) необходимо определить область определения и выяснить, является ли она четной.

Область определения

Функция (\tan(2x)) определена в тех случаях, когда выражение (2x) не равно (\frac{\pi}{2} + k\pi), где (k) — целое число, поскольку в этих точках (\tan(2x)) имеет вертикальные асимптоты, и значение функции стремится к бесконечности.

Итак, найдём точки, в которых (\tan(2x)) не определена:

[ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi ]

Теперь решим это уравнение для (x):

[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} ]

Таким образом, область определения функции (y = \tan(2x)) будет включать все значения (x), за исключением точек вида (x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}).

Запишем область определения в виде множества:

[ D(y) = { x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} } ]

Проверка на четность функции

Функция (f(x)) называется четной, если для всех (x) из её области определения выполняется условие:

[ f(-x) = f(x) ]

Рассмотрим функцию (y = \tan(2x)) для (x) и (-x):

[ y = \tan(2x) ] [ y(-x) = \tan(-2x) ]

Используем свойство тангенса:

[ \tan(-\theta) = -\tan(\theta) ]

Следовательно:

[ \tan(-2x) = -\tan(2x) ]

Из этого следует, что:

[ y(-x) = -\tan(2x) ]

Так как (y(-x) \neq y(x)), функция (y = \tan(2x)) не является четной.

Итог

1. Область определения функции (y = \tan(2x)):

[ D(y) = { x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} } ]

1. Четность: Функция (y = \tan(2x)) не является четной.

Областью определения функции y=tg(2x) является множество всех значений x, для которых функция tg(2x) определена. Тангенс определен для всех действительных чисел x, кроме тех, при которых tg(2x) принимает значение pi/2 + kpi, где k - целое число. Таким образом, областью определения функции y=tg(2x) является множество всех действительных чисел x, кроме точек вида x=(pi/4)+kpi/2, где k - целое число.

Чтобы проверить, является ли функция y=tg(2x) четной, нужно проверить выполнение условия четности: f(x) = f(-x) для всех x из области определения функции.

Подставим -x вместо x в функцию y=tg(2x): tg(2*(-x)) = tg(-2x) = -tg(2x)

Таким образом, функция y=tg(2x) не является четной, так как tg(-2x) не равно -tg(2x) для всех x из области определения.