Найти область определения тригонометрической функции y=tg5x

Чтобы найти область определения функции ( y = \tan(5x) ), нужно помнить, что тангенс определён для всех значений, кроме тех, где его аргумент равен ( \frac{\pi}{2} + k\pi ), где ( k ) — целое число. Это связано с тем, что в этих точках косинус, стоящий в знаменателе функции тангенса, обращается в ноль, что делает функцию неопределённой.

Для функции ( y = \tan(5x) ), аргументом тангенса является ( 5x ). Поэтому, чтобы найти значения ( x ), при которых функция неопределена, необходимо решить уравнение:

[ 5x = \frac{\pi}{2} + k\pi ]

Разделим каждую часть уравнения на 5, чтобы выразить ( x ):

[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5} ]

Таким образом, функция ( y = \tan(5x) ) неопределена в точках:

[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Следовательно, область определения функции — все значения ( x ), кроме:

[ x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Записать это можно в виде множества:

[ D(y) = { x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5}, \; k \in \mathbb{Z} } ]

Итак, область определения функции ( y = \tan(5x) ) — это все вещественные числа за исключением тех, которые выражаются в виде ( x = \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5} ), где ( k ) — любое целое число.

Область определения тангенса равна множеству всех значений аргумента, при которых функция определена. Тангенс определен как отношение синуса к косинусу того же угла, и принимает все значения, кроме тех, при которых косинус равен нулю (так как деление на ноль невозможно).

Для функции y = tg(5x) косинус равен нулю при x = (π/2 + πn)/5, где n - любое целое число. Следовательно, область определения функции y = tg(5x) будет состоять из всех значений x, кроме точек вида x = (π/2 + πn)/5.

Таким образом, область определения тригонометрической функции y = tg(5x) будет выглядеть следующим образом: D = {x ∈ R : x ≠ (π/2 + πn)/5, где n - любое целое число}.