Найти общий вид первообразной: f(x)=(1/(4*корень из х))-х^2

Чтобы найти общий вид первообразной функции ( f(x) = \frac{1}{4\sqrt{x}} - x^2 ), нужно выполнить интегрирование каждого слагаемого по отдельности.

Начнем с первого слагаемого: (\frac{1}{4\sqrt{x}}).

Запишем его в виде степени: [ \frac{1}{4\sqrt{x}} = \frac{1}{4} x^{-\frac{1}{2}} ]

Теперь найдем первообразную от ( \frac{1}{4} x^{-\frac{1}{2}} ) по формуле: [ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ] где ( n \neq -1 ).

Для ( x^{-\frac{1}{2}} ), ( n = -\frac{1}{2} ): [ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x} ]

Теперь умножим результат на (\frac{1}{4}): [ \int \frac{1}{4} x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{1}{4} \cdot 2\sqrt{x} = \frac{1}{2}\sqrt{x} ]

Теперь перейдем ко второму слагаемому: ( -x^2 ).

Интегрируем ( -x^2 ) по той же формуле: [ \int -x^2 \, dx = -\int x^2 \, dx = -\left( \frac{x^{2+1}}{2+1} \right) = -\left( \frac{x^3}{3} \right) = -\frac{x^3}{3} ]

Теперь объединим результаты и добавим константу интегрирования ( C ): [ \int \left( \frac{1}{4\sqrt{x}} - x^2 \right) \, dx = \frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{x^3}{3} + C ]

Таким образом, общий вид первообразной функции ( f(x) = \frac{1}{4\sqrt{x}} - x^2 ) будет: [ F(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{x^3}{3} + C ]

Общий вид первообразной функции f(x) = (1/(4√x)) - x^2 равен F(x) = 1/2√x - (x^3)/3 + C, где C - произвольная постоянная.

Для нахождения общего вида первообразной данной функции f(x) = (1/(4*√x)) - x^2 необходимо выполнить процесс интегрирования.

Сначала найдем первообразную для каждого из слагаемых по отдельности. Для первого слагаемого 1/(4√x) воспользуемся заменой переменной, где u = √x, тогда du = (1/(2√x))dx. После замены переменной получим интеграл ∫(1/(4√x))dx = ∫(1/(4u)) 2u du = (1/2)∫du = u/2 = √x/2.

Для второго слагаемого -x^2 интегрируем просто по правилу степенной функции, получаем ∫(-x^2)dx = -(1/3)x^3.

Таким образом, общий вид первообразной для функции f(x) = (1/(4*√x)) - x^2 будет F(x) = √x/2 - (1/3)x^3 + C, где C - произвольная постоянная.