Найти общий вид первообразной: f$x$=$1/(4\ast кореньизх$)-х^2

Чтобы найти общий вид первообразной функции $f(x$ = \frac{1}{4\sqrt{x}} - x^2 ), нужно выполнить интегрирование каждого слагаемого по отдельности.

Начнем с первого слагаемого: $\frac{1}{4\sqrt{x}}$.

Запишем его в виде степени: $\frac{1}{4\sqrt{x}}=\frac{1}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

Теперь найдем первообразную от $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$ по формуле: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ где $n\ne -1$.

Для $x^{-\frac{1}{2}}$, $n=-\frac{1}{2}$: $\int x^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=2x^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x}$

Теперь умножим результат на $\frac{1}{4}$: $\int \frac{1}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{4}\cdot 2\sqrt{x}=\frac{1}{2}\sqrt{x}$

Теперь перейдем ко второму слагаемому: $-x^2$.

Интегрируем $-x^2$ по той же формуле: $\int -x^{2}dx=-\int x^{2}dx=-\left(\frac{x^{2+1}}{2+1}\right)=-\left(\frac{x^3}{3}\right)=-\frac{x^3}{3}$

Теперь объединим результаты и добавим константу интегрирования $C$: $\int (\frac{1}{4\sqrt{x}}-x^2)dx=\frac{1}{2}\sqrt{x}-\frac{x^3}{3}+C$

Таким образом, общий вид первообразной функции $f(x$ = \frac{1}{4\sqrt{x}} - x^2 ) будет: $F(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}-\frac{x^3}{3}+C$

Общий вид первообразной функции f$x$ = $1/(4\surd x$) - x^2 равен F$x$ = 1/2√x - $x^3$/3 + C, где C - произвольная постоянная.

Для нахождения общего вида первообразной данной функции f$x$ = $1/(4\ast \surd x$) - x^2 необходимо выполнить процесс интегрирования.

Сначала найдем первообразную для каждого из слагаемых по отдельности. Для первого слагаемого 1/(4√x) воспользуемся заменой переменной, где u = √x, тогда du = (1/(2√x))dx. После замены переменной получим интеграл ∫(1/(4√x))dx = ∫$1/(4u$) 2u du = $1/2$∫du = u/2 = √x/2.

Для второго слагаемого -x^2 интегрируем просто по правилу степенной функции, получаем ∫$-x^2$dx = -$1/3$x^3.

Таким образом, общий вид первообразной для функции f$x$ = $1/(4\ast \surd x$) - x^2 будет F$x$ = √x/2 - $1/3$x^3 + C, где C - произвольная постоянная.