Найти первообразную для функции: а)f(x)=2/x^3+cosx, x неравно0 б)f(x)=3e^x,x равно целым числам

а) Для нахождения первообразной для функции f(x) = 2/x^3 + cos(x), x ≠ 0, нужно разложить данную функцию на две части: первая часть - 2/x^3, это может быть выражено как 2x^(-3), и вторая часть - cos(x).

Итак, первообразная от каждой из этих частей будет: ∫(2x^(-3))dx = -x^(-2) + C1, ∫cos(x)dx = sin(x) + C2.

Где C1 и C2 - произвольные постоянные. Тогда первообразная для функции f(x) будет равна сумме первообразных от каждой из частей: F(x) = -x^(-2) + sin(x) + C.

б) Для функции f(x) = 3e^x, x - целое число, первообразная будет: ∫3e^xdx = 3∫e^xdx = 3e^x + C.

Где С - произвольная постоянная.

Конечно, давайте рассмотрим оба примера и найдем первообразные для данных функций.

Пример а: ( f(x) = \frac{2}{x^3} + \cos x ), (x \neq 0)

Для нахождения первообразной (или интеграла) функции (f(x)), мы будем интегрировать каждое слагаемое отдельно.

1. Интегрирование (\frac{2}{x^3}):

   Перепишем это слагаемое в виде степенной функции: [ \frac{2}{x^3} = 2x^{-3} ] Теперь применим формулу интегрирования для степенной функции (x^n): [ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{где } n \neq -1 ] Для (n = -3): [ \int 2x^{-3} \, dx = 2 \int x^{-3} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{2}{2x^2} = -\frac{1}{x^2} ]

2. Интегрирование (\cos x):

   Интеграл от (\cos x) известен: [ \int \cos x \, dx = \sin x + C ]

Объединяя результаты, получаем: [ \int \left( \frac{2}{x^3} + \cos x \right) dx = -\frac{1}{x^2} + \sin x + C ] где (C) — произвольная постоянная интегрирования.

Пример б: ( f(x) = 3e^x ), (x) — целые числа

Функция (3e^x) является экспоненциальной функцией, и интегрирование экспоненциальных функций достаточно прямолинейно.

1. Интегрирование (3e^x):

   Константу можно вынести за знак интеграла: [ \int 3e^x \, dx = 3 \int e^x \, dx ] Интеграл от (e^x) известен: [ \int e^x \, dx = e^x + C ] Следовательно: [ 3 \int e^x \, dx = 3(e^x + C) = 3e^x + C' ] где (C') — произвольная постоянная интегрирования. Важно отметить, что (C') также является произвольной постоянной и эквивалентна (3C), но для простоты мы обозначаем её как (C').

Таким образом, первообразная для функции ( f(x) = 3e^x ) равна: [ \int 3e^x \, dx = 3e^x + C' ]

Обобщая: а) (\int \left( \frac{2}{x^3} + \cos x \right) dx = -\frac{1}{x^2} + \sin x + C)

б) (\int 3e^x \, dx = 3e^x + C')

где (C) и (C') — произвольные постоянные интегрирования.