Найти первообразную, график которой проходит через т.А 1). f(x) = 3x² - 2x + 4; A(-1; 1) 2). f(x) =...

Чтобы найти первообразную функции, которая проходит через заданную точку, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти неопределенный интеграл функции ( f(x) ).
2. Использовать заданную точку для нахождения константы интегрирования ( C ).

1) Для функции ( f(x) = 3x^2 - 2x + 4 ) и точки ( A(-1; 1) ):

Шаг 1: Найдём неопределенный интеграл функции:

[ \int (3x^2 - 2x + 4) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 2x \, dx + \int 4 \, dx ]

[ = \frac{3x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + 4x + C = x^3 - x^2 + 4x + C ]

Здесь ( C ) — константа интегрирования.

Шаг 2: Используем точку ( A(-1; 1) ). Это означает, что при ( x = -1 ) значение первообразной равно ( 1 ):

[ (-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) + C = 1 ]

[ -1 - 1 - 4 + C = 1 ]

[ C = 1 + 6 = 7 ]

Таким образом, первообразная функции, проходящая через точку ( A(-1; 1) ), имеет вид:

[ F(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7 ]

2) Для функции ( f(x) = 4x + \frac{1}{x^2} ) и точки ( A(-1; 4) ):

Шаг 1: Найдём неопределенный интеграл функции:

[ \int \left(4x + \frac{1}{x^2}\right) \, dx = \int 4x \, dx + \int x^{-2} \, dx ]

[ = \frac{4x^2}{2} + \frac{x^{-1}}{-1} + C = 2x^2 - \frac{1}{x} + C ]

Шаг 2: Используем точку ( A(-1; 4) ). Это означает, что при ( x = -1 ) значение первообразной равно ( 4 ):

[ 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C = 4 ]

[ 2 + 1 + C = 4 ]

[ C = 4 - 3 = 1 ]

Таким образом, первообразная функции, проходящая через точку ( A(-1; 4) ), имеет вид:

[ F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 ]

В результате мы нашли первообразные для обеих функций, которые проходят через заданные точки.

1) F(x) = x^3 - x^2 + 4x + C

2) F(x) = 2x^2 + 2x - 9/x + C

1) Для нахождения первообразной функции f(x) = 3x² - 2x + 4, проходящей через точку A(-1; 1), нужно найти неопределенный интеграл данной функции.

Интегрируем каждый член функции по отдельности: ∫(3x²) dx = x³ + C₁ ∫(-2x) dx = -x² + C₂ ∫4 dx = 4x + C₃

Сложим эти части и обозначим неизвестные константы как C: F(x) = x³ - x² + 4x + C

Теперь подставим координаты точки A(-1; 1) в уравнение F(x) и найдем значение константы C: 1 = (-1)³ - (-1)² + 4(-1) + C 1 = -1 + 1 - 4 + C 1 = -4 + C C = 5

Таким образом, первообразная функции f(x) = 3x² - 2x + 4, проходящая через точку A(-1; 1), будет F(x) = x³ - x² + 4x + 5.

2) Для функции f(x) = 4x + 1/x², проходящей через точку A(-1; 4), найдем первообразную, проинтегрировав каждый член по отдельности: ∫4x dx = 2x² + C₁ ∫1/x² dx = -1/x + C₂

Сложим эти части и обозначим неизвестные константы как C: F(x) = 2x² - 1/x + C

Подставим координаты точки A(-1; 4) в уравнение F(x) и найдем значение константы C: 4 = 2(-1)² - 1/(-1) + C 4 = 2 - 1 - 1 + C 4 = 0 + C C = 4

Таким образом, первообразная функции f(x) = 4x + 1/x², проходящая через точку A(-1; 4), будет F(x) = 2x² - 1/x + 4.