Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции y=x^2+1 и y=10

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций ( y = x^2 + 1 ) и ( y = 10 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения графиков. Решаем уравнение: [ x^2 + 1 = 10 ] [ x^2 = 9 ] [ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -3 ]

   Таким образом, графики пересекаются в точках (-3, 10) и (3, 10).

2. Определим, какая функция находится выше на интервале пересечения. Очевидно, что ( y = 10 ) является прямой, которая всегда выше кривой ( y = x^2 + 1 ) в интервале от ( x = -3 ) до ( x = 3 ).

3. Вычислим площадь между графиками. Площадь между двумя кривыми на заданном интервале находится как интеграл от разности верхней функции и нижней функции: [ \text{Площадь} = \int{-3}^{3} (10 - (x^2 + 1)) \, dx ] [ \text{Площадь} = \int{-3}^{3} (9 - x^2) \, dx ]

   Расчет интеграла: [ \int (9 - x^2) \, dx = 9x - \frac{x^3}{3} + C ]

   Подставляем пределы интегрирования: [ \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3} ] [ = \left( 9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9 \cdot (-3) - \frac{(-3)^3}{3} \right) ] [ = \left( 27 - 9 \right) - \left( -27 + 9 \right) ] [ = 18 + 18 = 36 ]

   Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций, равна 36 квадратных единиц.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2+1 и y=10, необходимо найти точки их пересечения. После этого можно построить графики функций и найти площадь фигуры, заключенной между этими графиками.

Для нахождения точек пересечения функций y=x^2+1 и y=10, необходимо приравнять их друг к другу: x^2+1 = 10 x^2 = 9 x = ±3

Таким образом, точки пересечения функций находятся при x = -3 и x = 3.

Построим график функций y=x^2+1 и y=10. Площадь фигуры, ограниченной этими графиками, будет равна интегралу от функции y=10 до функции y=x^2+1 на интервале от -3 до 3.

S = ∫[3,-3] (x^2+1 - 10) dx S = ∫[3,-3] (x^2-9) dx S = [1/3*x^3 - 9x]∣[3,-3] S = (1/33^3 - 93) - (1/3(-3)^3 - 9(-3)) S = (9 - 27) - (-9 - 27) S = -18 + 36 S = 18

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2+1 и y=10, равна 18 квадратных единиц.