Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=1/x,y=0,x=1,x=e

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \frac{1}{x} ), ( y = 0 ), ( x = 1 ) и ( x = e ), нужно вычислить определенный интеграл:

[ S = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx ]

Вычисляем интеграл:

[ S = [\ln|x|]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 ]

Таким образом, площадь фигуры равна ( 1 ).

Рассмотрим задачу нахождения площади фигуры, ограниченной линиями: ( y = \frac{1}{x} ), ( y = 0 ), ( x = 1 ) и ( x = e ). Для решения будем использовать определённый интеграл.

1. Геометрическое расположение линий

• Линия ( y = \frac{1}{x} ) — это гипербола, расположенная в первой и третьей четвертях. Нас интересует её часть в первой четверти, так как ( x > 0 ).
• Линия ( y = 0 ) — это ось абсцисс (ось ( x )).
• Вертикальные прямые ( x = 1 ) и ( x = e ) задают границы области вдоль оси ( x ), где ( e ) — основание натурального логарифма (( e \approx 2.718 )).

Таким образом, нас интересует площадь под графиком ( y = \frac{1}{x} ), ограниченная снизу осью ( x ) (то есть ( y = 0 )) и вертикальными линиями ( x = 1 ) и ( x = e ).

2. Формула для площади

Площадь можно найти с помощью интеграла: [ S = \int_{x=1}^{x=e} \frac{1}{x} \, dx. ]

3. Вычисление интеграла

Функция ( \frac{1}{x} ) — это стандартная функция, первообразной которой является натуральный логарифм: [ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C. ]

Подставляем пределы интегрирования (( x = 1 ) и ( x = e )): [ S = \int{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]{1}^{e}. ]

Подставляем значения: [ S = \ln(e) - \ln(1). ]

4. Упрощение результата

• Натуральный логарифм числа ( e ) равен 1: [ \ln(e) = 1. ]
• Натуральный логарифм числа 1 равен 0: [ \ln(1) = 0. ]

Следовательно: [ S = 1 - 0 = 1. ]

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \frac{1}{x} ), ( y = 0 ), ( x = 1 ), ( x = e ), равна ( \mathbf{1} ) квадратной единице.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой ( y = \frac{1}{x} ), осью ( y ) (то есть линией ( y = 0 )), вертикальными линиями ( x = 1 ) и ( x = e ), нам нужно вычислить определённый интеграл.

Шаг 1: Построение графика

Сначала представим, что мы имеем график функции ( y = \frac{1}{x} ). Эта функция является гиперболой, которая убывает и пересекает ось ( y ) в бесконечности и ось ( x ) в нуле. В пределах ( x = 1 ) и ( x = e ) мы можем заметить, что фигура, ограниченная данной кривой и осью ( y ), будет выглядеть как кусок гиперболы между этими двумя вертикальными линиями.

Шаг 2: Определение площади

Площадь ( S ) фигуры, ограниченной этими линиями, можно найти с помощью интеграла:

[ S = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx ]

Шаг 3: Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл:

[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C ]

Таким образом, определённый интеграл от 1 до ( e ) будет равен:

[ S = \left[ \ln |x| \right]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) ]

Шаг 4: Подстановка значений

Зная, что ( \ln(e) = 1 ) и ( \ln(1) = 0 ), мы подставляем значения:

[ S = 1 - 0 = 1 ]

Заключение

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \frac{1}{x} ), ( y = 0 ), ( x = 1 ), и ( x = e ), равна 1.

[ \boxed{1} ]