Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=2-x

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=x^2$ и $y=2-x$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения кривых:

   Для этого приравняем уравнения: $x^2=2-x$ Приведем уравнение к стандартному виду: $x^2+x-2=0$ Решим квадратное уравнение, используя формулу: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ где $a=1$, $b=1$, $c=-2$: $x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}$ Получаем два корня: $x=1\text{и}x=-2$

2. Определить вертикальные границы интегрирования:

   Точки пересечения $x=-2$ и $x=1$ будут границами интегрирования.

3. Записать выражение для площади:

   Площадь между двумя кривыми $y=f(x$ ) и $y=g(x$ ) на интервале $[a,b]$ находится по формуле: [ A = \int{a}^{b} $f(x$ - g$x$) \, dx ] В данном случае $f(x$ = 2 - x ) и $g(x$ = x^2 ). Таким образом, формула для площади примет вид: [ A = \int{-2}^{1} $(2-x$ - $x^2$) \, dx ]

4. Вычислить интеграл:

   Сначала упростим подынтегральное выражение: $A={\int }_{-2}^1(2-x-x^2)dx$

   Разделим интеграл на три части: [ A = \int{-2}^{1} 2 \, dx - \int{-2}^{1} x \, dx - \int_{-2}^{1} x^2 \, dx ]

   Вычислим каждый интеграл по отдельности: [ \int{-2}^{1} 2 \, dx = 2x \Big|{-2}^{1} = 2$1$ - 2$-2$ = 2 + 4 = 6 ]

   [ \int{-2}^{1} x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|{-2}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{$-2$^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} ]

   [ \int{-2}^{1} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|{-2}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{$-2$^3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3 ]

5. Сложим результаты:

   $A=6-(-\frac{3}{2})-3=6+\frac{3}{2}-3$ Приведем к общему знаменателю: $A=6-3+\frac{3}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{6}{2}+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}=4.5$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $y=x^2$ и $y=2-x$, равна $4.5$ квадратных единиц.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя заданными линиями, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения линий к друг другу:

x^2 = 2 - x

Преобразуем уравнение:

x^2 + x - 2 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения:

$x+2$$x-1$ = 0

x = -2 или x = 1

Таким образом, точки пересечения линий находятся при x = -2 и x = 1. Далее найдем значения y в этих точках:

При x = -2:

y = $-2$^2 = 4

При x = 1:

y = 2 - 1 = 1

Итак, точки пересечения линий: $-2,4$ и $1,1$. Теперь можем найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, с помощью определенного интеграла:

S = ∫$a,b$ $f(x$ - g$x$) dx

Где f$x$ и g$x$ - уравнения линий, a и b - точки пересечения. Подставим значения:

S = ∫$-2,1$ $(2-x$ - x^2) dx

S = ∫$-2,1$ $2-x-x^2$ dx

S = $2x-x^2-(x^3)/3$ $-2,1$

S = $2\ast 1-1^2-(1^3)/3$ - $2\ast (-2)-(-2{)}^2-((-2{)}^3)/3$

S = $2-1-1/3$ - $-4+4-8/3$

S = $1/3$ - $-8/3$

S = 9/3

S = 3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=2-x, равна 3.