Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=2-x

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями (y = x^2) и (y = 2 - x), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения кривых:

   Для этого приравняем уравнения: [ x^2 = 2 - x ] Приведем уравнение к стандартному виду: [ x^2 + x - 2 = 0 ] Решим квадратное уравнение, используя формулу: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где (a = 1), (b = 1), (c = -2): [ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} ] Получаем два корня: [ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -2 ]

2. Определить вертикальные границы интегрирования:

   Точки пересечения ( x = -2 ) и ( x = 1 ) будут границами интегрирования.

3. Записать выражение для площади:

   Площадь между двумя кривыми ( y = f(x) ) и ( y = g(x) ) на интервале ([a, b]) находится по формуле: [ A = \int{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx ] В данном случае ( f(x) = 2 - x ) и ( g(x) = x^2 ). Таким образом, формула для площади примет вид: [ A = \int{-2}^{1} ((2 - x) - (x^2)) \, dx ]

4. Вычислить интеграл:

   Сначала упростим подынтегральное выражение: [ A = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx ]

   Разделим интеграл на три части: [ A = \int{-2}^{1} 2 \, dx - \int{-2}^{1} x \, dx - \int_{-2}^{1} x^2 \, dx ]

   Вычислим каждый интеграл по отдельности: [ \int{-2}^{1} 2 \, dx = 2x \Big|{-2}^{1} = 2(1) - 2(-2) = 2 + 4 = 6 ]

   [ \int{-2}^{1} x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|{-2}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} ]

   [ \int{-2}^{1} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|{-2}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3 ]

5. Сложим результаты:

   [ A = 6 - \left( -\frac{3}{2} \right) - 3 = 6 + \frac{3}{2} - 3 ] Приведем к общему знаменателю: [ A = 6 - 3 + \frac{3}{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 2 - x ), равна ( 4.5 ) квадратных единиц.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя заданными линиями, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения линий к друг другу:

x^2 = 2 - x

Преобразуем уравнение:

x^2 + x - 2 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения:

(x + 2)(x - 1) = 0

x = -2 или x = 1

Таким образом, точки пересечения линий находятся при x = -2 и x = 1. Далее найдем значения y в этих точках:

При x = -2:

y = (-2)^2 = 4

При x = 1:

y = 2 - 1 = 1

Итак, точки пересечения линий: (-2, 4) и (1, 1). Теперь можем найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, с помощью определенного интеграла:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

Где f(x) и g(x) - уравнения линий, a и b - точки пересечения. Подставим значения:

S = ∫[-2,1] ((2 - x) - x^2) dx

S = ∫[-2,1] (2 - x - x^2) dx

S = [2x - x^2 - (x^3)/3] [-2,1]

S = [2*1 - 1^2 - (1^3)/3] - [2*(-2) - (-2)^2 - ((-2)^3)/3]

S = (2 - 1 - 1/3) - (-4 + 4 - 8/3)

S = (1/3) - (-8/3)

S = 9/3

S = 3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=2-x, равна 3.