Найти площадь фигуры ограниченной параболой y=x^2+x-6 и осью Ох;

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y=x^2+x-6$ и осью $O_x$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение точек пересечения с осью $O_x$: Найдем корни уравнения $x^2+x-6=0$. Это можно сделать с помощью формулы для корней квадратного уравнения: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ где $a=1$, $b=1$, $c=-6$. Подставляя данные значения, получаем: $x=\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2}$ Отсюда корни уравнения: $x_1=2$ и $x_2=-3$.

2. Нахождение площади фигуры: Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью $O_x$, находится как интеграл от абсолютного значения функции на интервале от $x_2$ до ( x1 ): [ S = \int{-3}^{2} |x^2 + x - 6| \, dx ] Необходимо определить, в каких точках функция положительна, а в каких отрицательна. Функция $y=x^2+x-6$ отрицательна между корнями и положительна вне этого интервала. Так как нас интересует участок между корнями, где функция ниже оси ( Ox ), берем интеграл от $-y$ на этом интервале: [ S = \int{-3}^{2} -$x^2+x-6$ \, dx = -\int{-3}^{2} $x^2+x-6$ \, dx ] Решим данный интеграл: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}${-3}^{2} ] Подставляя значения: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ] $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ] $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = -\left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ] $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = \frac{44}{3} + \frac{81}{6} = \frac{88}{6} + \frac{81}{6} = \frac{169}{6} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2+x-6$ и осью $O_x$, равна $\frac{169}{6}$ квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+x-6 и осью Ox, нужно найти точки пересечения этой параболы с осью Ox. Для этого решим уравнение y=x^2+x-6=0.

x^2+x-6=0

Факторизуем это уравнение:

$x+3$$x-2$=0

Таким образом, получаем две точки пересечения параболы с осью Ox: x=-3 и x=2.

Теперь для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой и осью Ox, нужно найти определенный интеграл функции y=x^2+x-6 на отрезке $-3,2$:

S = ∫$2,-3$ $x^2+x-6$dx

S = [1/3x^3 + 1/2x^2 - 6x] $2,-3$

S = (1/32^3 + 1/22^2 - 62) - (1/3$-3$^3 + 1/2$-3$^2 - 6$-3$)

S = $8/3+2\ast 2-12$ - $-9/3+9/2+18$

S = $8/3+4-12$ - $-3+9/2+18$

S = $8/3+4-12$ - $-6/2+9/2+18$

S = $8/3+4-12$ - $3/2+18$

S = $8/3+4-12$ - $27/2$

S = $8/3+4-12$ - $27/2$

S = -4/3 - 27/2

S = -8/6 - 81/6

S = -89/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+x-6 и осью Ox, равна -89/6 или приблизительно -14.83.