Найти площадь фигуры ограниченной параболой y=x^2+x-6 и осью Ох;

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой ( y = x^2 + x - 6 ) и осью ( O_x ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение точек пересечения с осью ( O_x ): Найдем корни уравнения ( x^2 + x - 6 = 0 ). Это можно сделать с помощью формулы для корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -6 ). Подставляя данные значения, получаем: [ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} ] Отсюда корни уравнения: ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = -3 ).

2. Нахождение площади фигуры: Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью ( O_x ), находится как интеграл от абсолютного значения функции на интервале от ( x_2 ) до ( x1 ): [ S = \int{-3}^{2} |x^2 + x - 6| \, dx ] Необходимо определить, в каких точках функция положительна, а в каких отрицательна. Функция ( y = x^2 + x - 6 ) отрицательна между корнями и положительна вне этого интервала. Так как нас интересует участок между корнями, где функция ниже оси ( Ox ), берем интеграл от (-y) на этом интервале: [ S = \int{-3}^{2} -(x^2 + x - 6) \, dx = -\int{-3}^{2} (x^2 + x - 6) \, dx ] Решим данный интеграл: [ -\left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x \right]{-3}^{2} ] Подставляя значения: [ -\left[ \left(\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 6\cdot2\right) - \left(\frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2} - 6\cdot(-3)\right) \right] ] [ -\left[ \left(\frac{8}{3} + 2 - 12\right) - \left(-9 + \frac{9}{2} + 18\right) \right] ] [ -\left[ \left(\frac{8}{3} + 2 - 12\right) - \left(-9 + \frac{9}{2} + 18\right) \right] = -\left[ \left(\frac{8}{3} - 10\right) - \left(\frac{27}{2}\right) \right] ] [ -\left[ -\frac{22}{3} - \frac{27}{2} \right] = \frac{44}{3} + \frac{81}{6} = \frac{88}{6} + \frac{81}{6} = \frac{169}{6} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой ( y = x^2 + x - 6 ) и осью ( O_x ), равна ( \frac{169}{6} ) квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+x-6 и осью Ox, нужно найти точки пересечения этой параболы с осью Ox. Для этого решим уравнение y=x^2+x-6=0.

x^2+x-6=0

Факторизуем это уравнение:

(x+3)(x-2)=0

Таким образом, получаем две точки пересечения параболы с осью Ox: x=-3 и x=2.

Теперь для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой и осью Ox, нужно найти определенный интеграл функции y=x^2+x-6 на отрезке [-3, 2]:

S = ∫[2, -3] (x^2 + x - 6)dx

S = [1/3x^3 + 1/2x^2 - 6x] [2, -3]

S = (1/32^3 + 1/22^2 - 62) - (1/3(-3)^3 + 1/2(-3)^2 - 6(-3))

S = (8/3 + 2*2 - 12) - (-9/3 + 9/2 + 18)

S = (8/3 + 4 - 12) - (-3 + 9/2 + 18)

S = (8/3 + 4 - 12) - (-6/2 + 9/2 + 18)

S = (8/3 + 4 - 12) - (3/2 + 18)

S = (8/3 + 4 - 12) - (27/2)

S = (8/3 + 4 - 12) - (27/2)

S = -4/3 - 27/2

S = -8/6 - 81/6

S = -89/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+x-6 и осью Ox, равна -89/6 или приблизительно -14.83.