Найти производную a) y'=(x^2 *cosx)' б) y'=(корень квадратый 4х - sin X)

a) y'=(x^2 cosx)' = 2xcosx - x^2sinx б) y'=(корень квадратный 4х - sin x)' = 1/2sqrt(4x) - cos x

Конечно, давайте рассмотрим каждую из этих функций по отдельности и найдём их производные.

a) Найти производную ( y = x^2 \cos x )

Для нахождения производной функции, которая является произведением двух функций, используем правило произведения. Пусть ( u(x) = x^2 ) и ( v(x) = \cos x ). Тогда производная функции ( y = u(x) v(x) ) равна:

[ y' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) ]

Теперь найдём производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ):

• ( u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x )
• ( v'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x )

Подставим эти производные в правило произведения:

[ y' = (2x) \cos x + x^2 (-\sin x) ]

Упростим выражение:

[ y' = 2x \cos x - x^2 \sin x ]

Таким образом, производная функции ( y = x^2 \cos x ) равна ( y' = 2x \cos x - x^2 \sin x ).

б) Найти производную ( y = \sqrt{4x} - \sin x )

Для функции ( y = \sqrt{4x} - \sin x ) найдём производные каждой составляющей отдельно.

Сначала упростим (\sqrt{4x}):

• (\sqrt{4x} = (4x)^{1/2})

Используем правило дифференцирования степенной функции:

• (\frac{d}{dx}((4x)^{1/2}) = \frac{1}{2}(4x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(4x))
• Производная ( \frac{d}{dx}(4x) = 4 )

Подставим:

[ \frac{d}{dx}((4x)^{1/2}) = \frac{1}{2}(4x)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x}} ]

Теперь найдём производную (-\sin x):

• (\frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x)

Теперь сложим производные:

[ y' = \frac{2}{\sqrt{4x}} - \cos x ]

Таким образом, производная функции ( y = \sqrt{4x} - \sin x ) равна ( y' = \frac{2}{\sqrt{4x}} - \cos x ).

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется пояснение, дайте знать!

a) Для нахождения производной функции y=(x^2 cosx)' применим правило дифференцирования произведения функций. Для этого выделим два множителя: f(x) = x^2 и g(x) = cosx. Тогда производная произведения функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция умноженная на производную второй функции. Таким образом, y' = (2x cosx) + (x^2 (-sinx)) = 2x cosx - x^2 * sinx.

б) Для нахождения производной функции y=(sqrt(4x) - sinx)' воспользуемся правилами дифференцирования функций. Производная корня из функции равна производной функции под корнем, делённой на удвоенный корень из этой функции. Таким образом, производная функции y равна (1 / (2 * sqrt(4x))) - cosx.