Найти производную функции: 1) (3x^2-1/x^3) 2) (x/3+7)^6 ,3) e^x cos x , 4) 2^x/sin x

1) Найдем производную функции (3x^2 - 1/x^3): f(x) = 3x^2 - 1/x^3

f'(x) = d/dx(3x^2) - d/dx(1/x^3) f'(x) = 6x + 3/x^4

Таким образом, производная функции (3x^2 - 1/x^3) равна 6x + 3/x^4.

2) Найдем производную функции (x/3 + 7)^6: f(x) = (x/3 + 7)^6

f'(x) = d/dx((x/3 + 7)^6) f'(x) = 6(x/3 + 7)^5 * (1/3) f'(x) = 2(x/3 + 7)^5

Таким образом, производная функции (x/3 + 7)^6 равна 2(x/3 + 7)^5.

3) Найдем производную функции e^x cos(x): f(x) = e^x cos(x)

f'(x) = d/dx(e^x) cos(x) + e^x d/dx(cos(x)) f'(x) = e^x cos(x) - e^x sin(x)

Таким образом, производная функции e^x cos(x) равна e^x (cos(x) - sin(x)).

4) Найдем производную функции 2^x / sin(x): f(x) = 2^x / sin(x)

f'(x) = (d/dx(2^x) sin(x) - 2^x d/dx(sin(x))) / sin^2(x) f'(x) = (2^x ln(2) sin(x) - 2^x cos(x)) / sin^2(x) f'(x) = 2^x (ln(2) * sin(x) - cos(x)) / sin^2(x)

Таким образом, производная функции 2^x / sin(x) равна 2^x (ln(2) sin(x) - cos(x)) / sin^2(x).

Конечно, давайте найдем производные для каждой из предложенных функций:

1) Для функции ( f(x) = 3x^2 - \frac{1}{x^3} ): Для нахождения производной, используем правило производной суммы и производной степенной функции. Производная (3x^2) равна (6x), а производная (-\frac{1}{x^3}) находится по правилу производной частного (или степени с отрицательным показателем): [ \left(-\frac{1}{x^3}\right)' = -\left(x^{-3}\right)' = -(-3)x^{-4} = 3x^{-4} ] Итак, ( f'(x) = 6x + 3x^{-4} = 6x + \frac{3}{x^4} ).

2) Для функции ( g(x) = \left(\frac{x}{3} + 7\right)^6 ): Используем правило цепочки. Пусть ( u = \frac{x}{3} + 7 ), тогда ( g(x) = u^6 ). Производная ( u ) по ( x ) равна ( \frac{1}{3} ). Применяя правило цепочки, получим: [ g'(x) = 6u^5 \cdot \frac{1}{3} = 2u^5 = 2\left(\frac{x}{3} + 7\right)^5 ]

3) Для функции ( h(x) = e^x \cos x ): Здесь применим правило произведения, где ( f(x) = e^x ) и ( g(x) = \cos x ). Производная ( e^x ) равна ( e^x ), а производная ( \cos x ) равна ( -\sin x ). Тогда: [ h'(x) = e^x (-\sin x) + e^x \cos x = e^x (\cos x - \sin x) ]

4) Для функции ( k(x) = \frac{2^x}{\sin x} ): Также используем правило произведения, но сначала перепишем функцию как ( k(x) = 2^x (\sin x)^{-1} ). Производная ( 2^x ) равна ( 2^x \ln 2 ), а производная ( (\sin x)^{-1} ) (или ( \csc x )) равна (- \csc x \cot x). Применяем правило произведения: [ k'(x) = 2^x \ln 2 \cdot (\sin x)^{-1} + 2^x \cdot (- \csc x \cot x) = \frac{2^x \ln 2}{\sin x} - \frac{2^x \cot x}{\sin^2 x} ] или [ k'(x) = \frac{2^x \ln 2 \sin x - 2^x \cos x}{\sin^2 x} ]

Это полные производные для каждой из функций.