Найти производную функции f(x)=4x^3-1/x^2

Чтобы найти производную функции ( f(x) = 4x^3 - \frac{1}{x^2} ), воспользуемся правилами дифференцирования, такими как правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования суммы.

Функция ( f(x) ) состоит из двух слагаемых: ( 4x^3 ) и ( -\frac{1}{x^2} ). Разберем их по отдельности.

1. Производная от ( 4x^3 ):

   Используем правило дифференцирования степенной функции: если ( g(x) = ax^n ), то её производная ( g'(x) = anx^{n-1} ).

   Для ( 4x^3 ), у нас ( a = 4 ) и ( n = 3 ). Следовательно, производная будет:

   [ \frac{d}{dx}(4x^3) = 4 \cdot 3 \cdot x^{3-1} = 12x^2 ]

2. Производная от ( -\frac{1}{x^2} ):

   Сначала перепишем ( -\frac{1}{x^2} ) как степенную функцию. Это можно выразить как ( -x^{-2} ).

   Применяя то же правило, для ( -x^{-2} ) у нас ( a = -1 ) и ( n = -2 ). Следовательно, производная будет:

   [ \frac{d}{dx}(-x^{-2}) = -1 \cdot (-2) \cdot x^{-2-1} = 2x^{-3} ]

3. Найдем общую производную функции ( f(x) ):

   Производная суммы функций равна сумме производных этих функций. Таким образом, производная функции ( f(x) ) будет:

   [ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) + \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x^2}\right) = 12x^2 + 2x^{-3} ]

   Для удобства можно записать второе слагаемое в виде дроби:

   [ f'(x) = 12x^2 + \frac{2}{x^3} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = 4x^3 - \frac{1}{x^2} ) равна ( 12x^2 + \frac{2}{x^3} ).

Для нахождения производной данной функции f(x)=4x^3-1/x^2 необходимо применить правила дифференцирования.

Сначала найдем производную от первого слагаемого 4x^3. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции: производная от x^n равна n*x^(n-1). Применяя это правило, получаем, что производная от 4x^3 равна 12x^2.

Затем найдем производную от второго слагаемого -1/x^2. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции: производная от 1/x равна -1/x^2. В данном случае у нас обратная функция x^(-2), поэтому производная от -1/x^2 будет равна 2/x^3.

Таким образом, производная функции f(x)=4x^3-1/x^2 будет равна 12x^2 + 2/x^3.