Найти производную функции: (x^2-2x)(x^3+x)

Для нахождения производной функции ( f(x) = (x^2 - 2x)(x^3 + x) ) используем правило произведения.

Обозначим: ( u = x^2 - 2x ) и ( v = x^3 + x ).

Тогда производная ( f'(x) = u'v + uv' ).

Находим производные ( u' ) и ( v' ):

1. ( u' = 2x - 2 )
2. ( v' = 3x^2 + 1 )

Теперь подставляем в формулу: [ f'(x) = (2x - 2)(x^3 + x) + (x^2 - 2x)(3x^2 + 1) ]

Упрощая, получаем: [ f'(x) = (2x - 2)(x^3 + x) + (x^2 - 2x)(3x^2 + 1) ]

В результате: [ f'(x) = (2x - 2)(x^3 + x) + (x^2 - 2x)(3x^2 + 1) ]

Это конечный результат, который можно дополнительно упростить при необходимости.

Чтобы найти производную функции ( f(x) = (x^2 - 2x)(x^3 + x) ), мы будем использовать правило произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции ( u(x) ) и ( v(x) ), то производная их произведения ( f(x) = u(x)v(x) ) вычисляется по формуле:

[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ]

В нашем случае:

• ( u(x) = x^2 - 2x )
• ( v(x) = x^3 + x )

Теперь найдем производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ):

1. Найдем ( u'(x) ): [ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2 ]

2. Найдем ( v'(x) ): [ v'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + x) = 3x^2 + 1 ]

Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:

[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ]

Подставляем значения:

[ f'(x) = (2x - 2)(x^3 + x) + (x^2 - 2x)(3x^2 + 1) ]

Теперь упростим каждую часть:

1. Упростим ( (2x - 2)(x^3 + x) ): [ (2x - 2)(x^3 + x) = 2x(x^3) + 2x(x) - 2(x^3) - 2(x) = 2x^4 + 2x^2 - 2x^3 - 2 ]

2. Упростим ( (x^2 - 2x)(3x^2 + 1) ): [ (x^2 - 2x)(3x^2 + 1) = x^2(3x^2) + x^2(1) - 2x(3x^2) - 2x(1) = 3x^4 + x^2 - 6x^3 - 2x ]

Теперь сложим оба результата:

[ f'(x) = (2x^4 + 2x^2 - 2x^3 - 2) + (3x^4 + x^2 - 6x^3 - 2x) ]

Объединим подобные члены:

[ f'(x) = (2x^4 + 3x^4) + (-2x^3 - 6x^3) + (2x^2 + x^2) + (-2x) = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 - 2 ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = (x^2 - 2x)(x^3 + x) ) равна:

[ f'(x) = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 - 2 ]

Для нахождения производной функции ((x^2 - 2x)(x^3 + x)), воспользуемся правилом произведения. Правило гласит, что если функция имеет вид ( u(x)v(x) ), то её производная равна:

[ (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). ]

Здесь ( u(x) = x^2 - 2x ) и ( v(x) = x^3 + x ). Давайте пошагово найдем производную.

Шаг 1: Найдём ( u'(x) ) и ( v'(x) )

1. ( u(x) = x^2 - 2x ): [ u'(x) = (x^2)' - (2x)' = 2x - 2. ]

2. ( v(x) = x^3 + x ): [ v'(x) = (x^3)' + (x)' = 3x^2 + 1. ]

Шаг 2: Подставим в формулу производной произведения

Подставляем ( u(x) ), ( v(x) ), ( u'(x) ), ( v'(x) ) в формулу:

[ ((x^2 - 2x)(x^3 + x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). ]

Раскроем каждую часть:

1. ( u'(x)v(x) = (2x - 2)(x^3 + x) ): [ (2x - 2)(x^3 + x) = (2x)(x^3 + x) - (2)(x^3 + x). ] Раскроем скобки: [ (2x)(x^3 + x) = 2x^4 + 2x^2, ] [ (2)(x^3 + x) = 2x^3 + 2x. ] Тогда: [ (2x - 2)(x^3 + x) = 2x^4 + 2x^2 - 2x^3 - 2x. ]

2. ( u(x)v'(x) = (x^2 - 2x)(3x^2 + 1) ): [ (x^2 - 2x)(3x^2 + 1) = (x^2)(3x^2 + 1) - (2x)(3x^2 + 1). ] Раскроем скобки: [ (x^2)(3x^2 + 1) = 3x^4 + x^2, ] [ (2x)(3x^2 + 1) = 6x^3 + 2x. ] Тогда: [ (x^2 - 2x)(3x^2 + 1) = 3x^4 + x^2 - 6x^3 - 2x. ]

Шаг 3: Сложим результаты

Теперь складываем результаты обеих частей:

[ ((x^2 - 2x)(x^3 + x))' = (2x^4 + 2x^2 - 2x^3 - 2x) + (3x^4 + x^2 - 6x^3 - 2x). ]

Соберём подобные члены:

1. ( x^4 ): ( 2x^4 + 3x^4 = 5x^4 ),
2. ( x^3 ): ( -2x^3 - 6x^3 = -8x^3 ),
3. ( x^2 ): ( 2x^2 + x^2 = 3x^2 ),
4. ( x ): ( -2x - 2x = -4x ).

Итак, производная равна:

[ ((x^2 - 2x)(x^3 + x))' = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 - 4x. ]

Ответ

Производная функции ((x^2 - 2x)(x^3 + x)) равна:

[ 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 - 4x. ]